检查一个点是否在任意六面体内

Question

我正在编写一个 3D 有限元代码，我面临以下问题：

如果我取一个任意点（比如 x），我如何确定它在哪个元素中？

这可以简化为：如何检查任意点 (x) 是否位于（六面体）元素的内部或外部？

我已经找到的：

• 仅限于立方体：How to determine a point is inside or outside a cube?
• 仅限于矩形：https://math.stackexchange.com/questions/1472049/check-if-a-point-is-inside-a-rectangular-shaped-area-3d

与上述两种方法相反，我的问题既不是直角也不是平行面。

问题草图：

符号：（再次说明：虽然草图显示了一个规则的形状，但我们的六面体被假定为一般形状）

• 8节点六面体拓扑，节点数：0,..,7

• 轴：r,s,t

                    t
                    |
           4--------|-------------7
          /|        |            /|
         / |        |           / |
        /  |        |          /  |
       /   |        |         /   |
      /    |        |        /    |
     /     |        |       /     |
    5----------------------6      |
    |      |        |      |      |
    |      |        o------|---------s
    |      |       /       |      |
    |      0------/--------|------3
    |     /      /         |     /
    |    /      /          |    /
    |   /      /           |   /
    |  /      /            |  /
    | /      r             | /
    |/                     |/
    1----------------------2
  

我们可用的数据：

• 节点坐标（向量 P0 到 P7）
• 我们要检查的点的坐标（比如说 Px）

此外，我们假设节点的顺序如上图所示。

到目前为止我的方法/解决方案：

1. 计算表面（向外）法线向量

   使用叉积，例如。对于 r_pos_normal_vec（指向平面外）

   r_pos_normvec = (P2-P1) x (P5-P1)

   对于 r_neg_normal_vec

   r_neg_normvec = (P4-P0) x (P3-P0)

   s 和 t 方向类似

2. 检查两个对角节点（我选择了节点0和节点6）

   • 对于节点0

     • 计算从P0到Px的向量：

       P0x = Px - P0

     • 计算 P0x 的内部产品和与节点 0 相邻的表面

   • 对于节点1

     • 与节点 0 的方案相同，但使用 P1 代替 P0 和法线向量的正对应项

3. 如果所有 6 个（来自 node0 的 3 个和来自 node1 的 3 个）内积导致负值 -> 该点在六面体内部。

问题：

我在我的代码中实现了上述功能并运行了一些测试。 它似乎有效，从数学方面我很有信心。

请讨论我的方法，我很高兴任何提示/线索/建议/错误修复...... 有什么方法可以让这更快吗？ 替代解决方案？

注意：

• 为了加快算法速度，可以先进行复选框检查：
  • 围绕六面体构造一个矩形框：
  • 获取每个方向上节点坐标的最小值和最大值。
  • 如果要检查的点 (x) 在此（较大的）框之外，则它不能在六面体内。

Answer 1

对于任何凸多面体，建立面的隐式方程（f.i. 三点平面），形式为ax+by+cz+d=0。

当你将一个已知点的坐标插入到表达式ax+by+cz+d中时，你会得到一组符号。如果产生相同的符号，则任意点在内部。

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更新：

为了获得最佳性能，您还可以考虑使用轴对齐的边界框来快速拒绝。这只有在许多点都在外面时才有意义。让 sur 使用快捷评估，以便提前拒绝。

请注意，诸如X<Xmin 之类的拒绝测试只不过是针对方程平面X-Xmin=0 的上述符号测试。

Answer 2

我个人更喜欢你的方法，但是如果六面体仅限于平行六面体，还有一种方法可以解决这个问题。因此，您可以将 P 在框架 $(0; e_1; e_2; e_3)$ 中的坐标转移到 $(P_0, P_0P_1,P_0P_3,P_0P_4)$。我们称它为$(a,b,c)$，那么点就在那个平行六面体上 if $a,b,c > 0 a \in [0,1], a+b+c \in [0,1] $。

Answer 3

因为您提到您希望能够处理任意六面体，所以我认为如果您调整您的 s、r 和 t 法线以解决略微扭曲的面，您的过程可能会得到改进。我会通过对 r 法线（和 s 和 t 类似）进行以下更改来做到这一点：

r_pos_normvec = (P6-P1) x (P5-P2)

r_neg_normvec = (P7-P0) x (P4-P3)

这对于您将节点 6 移向节点 7（例如 0.9xP6）并在 0.95xP6 处有一个点的情况非常重要。如果没有翘曲校正，我相信您会错误地将点确定为六面体内部。