在稀疏图（矩阵）的表示中查找元素（邻居）

Question

我有一个大型稀疏图，我将其表示为邻接矩阵（100k x 100k 或更大），存储为边数组。具有（非稀疏）4 x 4 矩阵的示例：

0 7
4 0

example_array = [ [7,1,2], [4,2,1] ]

例如[4,1,2] 表示从节点 1 到节点 2 有一条有向边，其值/权重为 4。在矩阵术语中，这本质上是 [ value, row, column ]。

此外，这个“边数组”将按第一个元素排序。在上面的例子中，经过排序，数组变成了，

example_array = [ [4,2,1], [7,1,2] ]

问题

对于某个值i，需要在这个排序的“边数组”中找到第二个值等于i的所有元素。即找到j，这样example_array[j][1] = i。

我对此的初步实现是简单地迭代数组中的所有元素，将每个元素的第二个值与i 进行比较。这在计算上很昂贵，因为可能仍有很多（例如 500k）元素需要循环。

问题

有没有更有效的方法来做到这一点？我不介意使用矩阵/图形的不同表示。我是用 C 写的。

其他信息

这实际上是查找节点i 的所有邻居及其边缘权重。即从边列表中查找从i 到另一个节点的所有有向边。

Answer 1

您可能应该为此目的使用稀疏压缩行存储。简而言之，您逐行存储矩阵，因此您不需要保留两个（行，列）索引。相反，您保留一个行指针，即一个数组，它告诉您给定行在内存中的起始位置。然后你保留列向量 (col_ind)，它告诉你非零列在该行中的位置，并存储相应的值 (val)。这减少了存储需求，但也加快了矩阵搜索，因为每一行的 col_ind 都是排序的。因此，您可以直接访问每个矩阵行，并且可以使用二分法或您选择的任何其他排序列表搜索快速定位每行中的条目。

可以使用插入排序列表来快速创建 CRS 矩阵，或者例如如果您明确构造了每个矩阵条目的 (i,j) 坐标，则进行桶排序。在 MATLAB 中，您可以使用“稀疏”函数来执行此操作。如果您不想自己编写代码并需要一个库，请查看SuiteSparse by Tim Davis。

有关 CRS 格式的简要说明，请查看例如here，但它还有数千个其他来源。

编辑您可以使用修改后的 CRS 存储轻松地做您需要的事情。首先，您需要通过按值而不是按列索引对每行中的列进行排序来创建矩阵，这通常是这样做的。这意味着每行的最小值存储为每行中的第一个条目。然后，为了找到全局最小值，您搜索所有行的第一个条目（O(n) 复杂度）。知道通过读取包含最小值的行中的第一列索引，您可以在恒定时间内获得相应的列索引。您可以做到这一切，因为您可以通过行指针知道行在内存中的起始位置。

你可以看看this code。它是一组用 C 实现的 matlab 的 mex 文件。您感兴趣的是 sparse_create_mex.c。它通过将 (i, j, value) 迭代添加到排序列表中来创建稀疏矩阵结构。您需要稍微修改排序列表 - 现在它们是为整数列索引和双精度值实现的。由于排序列表是作为宏模板实现的，因此您只需声明一个新的排序列表类型（参见 sorted_list.h 和 sorted_list_templates.h）。

Answer 2

如果您不介意更改表示，那么如果您按第二个元素排序，那么计算量会减少，因为您可以逐步完成，一旦找到大于 i 的元素，您就可以完成。在最坏的情况下，最好的算法是 O(n)，但如果你按第二个元素排序，那么预计这将在 n/2 时间内运行。

Answer 3

使用指针有什么问题？

// A list of edges emanating from one node.
typedef struct {
    int weight;    
    int nodeId;    // The target node
    Edge *next;    // Next edge in the list
} Edge;

typedef struct {
    int nodeId;
    Edge *edges;   // This node's edge list
} Node;

// Now just store all your nodes in an array
Node *example_array[MAX_NODES];

当你在一个节点上插入一条边时，你会在它的edges 列表上按权重进行有序插入。现在，要回答有关查找从某个节点开始的所有边的问题，您只需在数组中查找该节点并遍历其边列表。好处是您可以按排序顺序访问它的边，而无需搜索图表的任何其他部分。