Skiena，算法设计手册，关于堆排序（第 111 页）答案

【问题标题】：Skiena, The Algorithm Design Manual, regarding heapsort (page 111)Skiena，算法设计手册，关于堆排序（第 111 页）
【发布时间】：2015-08-04 18:13:16
【问题描述】：

我正在自学“算法设计手册”一书。我目前正在学习第 4 章（HeapSort），在第 111 页有一个我无法理解的方程式

它是这样的

因此，空间效率要求我们不允许在我们的树 - 即，每个级别都尽可能多地打包。如果是这样，只有最后一级可能不完整。通过包装最后的元素尽可能向左的水平，我们可以表示一个n键树恰好使用数组的 n 个元素。如果我们不执行这些结构约束，我们可能需要一个大小为 2n 的数组来存储相同的元素。由于除了最后一个级别之外的所有级别都始终被填充，因此 n 个元素堆的高度 h 是对数的，因为： so h = lg n

我不明白的是如何从上述等式确定 h =logn ？我的数学很生疏，但据我所知应该是 h =log((n+1)/2)

我希望这里有读过这本书的人能够帮助我理解这一点

在此致谢

【问题讨论】：

标签： algorithm math equation

【解决方案1】：

你是怎么得到h = log((n+1) / 2)的？假设基数为 2 个日志，我们有：

2^(h+1) - 1 >= n
2^(h+1) >= n+1 | apply log
log(2^(h+1)) >= log(n+1)
h+1 >= log(n+1)
(log n)+1 >= log(n+1)

=> h = O(log n)

这本书应该说h = O(log n) 更准确一点，但这也很好。

阅读big-oh notation 了解为什么常量不重要。事实上，对数的底也无所谓。

【讨论】：

谢谢，是的，如果书中说 h = O(log n) 那么我就不会感到困惑了。至于我如何得到 h = log((n+1) / 2) 是 2^{h+1} >= n+1 等于 2^h x 2^1 = n + 1 等于 2^ h = (n+1)/2 和那里 h = log ((n+1)/2) 。这是不正确的吗？如果可以，请指出我哪里做错了（我希望我没有犯粗心的错误）
@user119020 啊，我明白了。不，它是正确的，并且与我所做的相同，起初对我来说看起来很奇怪。但是，是的，使用 big-oh 确实会让事情变得更清晰。
很确定日志的基数确实很重要... O(b^n) 的基数很重要，因为 3^n 绝不会以 2^n 为界。我不明白为什么它会与日志不同。
@GettnDer 因为log_a(x) = log_b(x) / log_b(a)。 log_b(a) 是一个常数。因为两个不同底数的对数相差一个常数，所以对数底数在 big-oh 表示法中并不重要。
@IVlad Ahhh 你是对的。他们的增长率是一样的。

【解决方案2】：

Skienna 的书所说的（虽然不够清楚）是 h 是渐近对数的。即，

2^{h+1} >= n+1 等价于

h+1 >= log(n+1),

所以你忽略常量并得到 h=O(log n)。你的计算是正确的，它给出了相同的结果，但你应该观察渐近行为。

【讨论】：

我不知道你可以在对数方程中忽略这样的常量。我的思维方式是 2^{h+1} >= n+1 等于 2^h x 2^ 1 = n + 1 等于 2^h = (n+1)/2 和 h = log ((n+1)/2) 并且我也不知道 log(2^x)=x .派上用场
@user119020 在处理渐近复杂性时，您可以忽略常量，这应该在 Skienna 的书中更清楚地说明。还有 log((n+1)/2)=log(n+1) - log2 = log(n+1) - 1，所以通过忽略常量，你会得到同样的结果。