我想知道，解决这个问题的最佳方法是什么：
给定 x、y 和 y 整数：a1、a2、a3 .. y 找出所有的组合 a1 ± a2 ± ... ± ay = x, y
我最近的方法是找到存储在表 T 中的 1 和 0 的所有排列，然后根据数字 T[i] 是否为 1 和 0，从 sum 中添加或减去 ai。问题是有n！ n 元素数组的排列。因此，对于 20 个元素的数组，我必须检查 20！大多数重复的可能性。您能否建议我解决我的问题的任何潜在方法？
【问题讨论】：
标签： algorithm permutation
只有 2^20（略超过一百万）个长度为 20 的二进制向量，而不是不可行的 20！。使用应该能够在不到一秒的时间内暴力破解，特别是如果您使用 Gray Code 这将允许您在一个步骤中从一个候选总和传递到另一个候选总和（例如从 a + b - c -d 到 @ 987654324@加2*d即可。
如果y 变得更大，@MikeWise 的出色分支和绑定想法会很好。生成以0 为根节点的树。给它-a1 和+a1 的孩子。然后通过添加和减去a2 等来创建 4 个孙子。如果您从目标 x 得到的距离超过剩余 ai 的总和 - 您可以修剪该分支。在最坏的情况下，这可能比基于格雷码的暴力破解稍差（因为您需要在每个节点上进行更多的处理），但在最好的情况下，您可能能够消除大多数可能性。
编辑时：这是一些 Python 代码。首先我定义了一个生成器，给定一个整数n，依次返回需要翻转的位位置以逐步通过格雷码：
def grayBit(n):
code = [0]*n
odd = True
done = False
while not done:
if odd:
code[0] = 1 - code[0] #flip bit
odd = False
yield 0
else:
i = code.index(1)
if i == n-1:
done = True
else:
code[i+1] = 1 - code[i+1]
odd = True
yield i+1
（这使用了我多年前在 Stanton 和 White 的优秀著作“Constructive Combinatorics”中学到的算法）。
然后——我用它来返回所有解决方案（作为由输入的数字列表组成的列表，并根据需要插入负号）。关键是我可以将当前的位翻转并加或减相应数字的两倍：
def signedSums(nums, target):
n = len(nums)
patterns = []
total = sum(nums)
pattern = [1]*n
if target == total: patterns.append([x*y for x,y in zip(nums,pattern)])
deltas = [2*i for i in nums]
for i in grayBit(n):
if pattern[i] == 1:
total -= deltas[i]
else:
total += deltas[i]
pattern[i] = -1 * pattern[i]
if target == total: patterns.append([x*y for x,y in zip(nums,pattern)])
return patterns
典型输出：
>>> signedSums([1,2,3,4,5,9],6)
[[1, -2, -3, -4, 5, 9], [1, 2, 3, -4, -5, 9], [-1, 2, -3, 4, -5, 9], [1, 2, 3, 4, 5, -9]]
评估只需要大约一秒钟：
>>> len(signedSums([i for i in range(1,21)],100))
2865
因此，有 2865 种方法可以对 1,2,..,20 范围内的整数进行加减运算，得到净和 100。
我假设a1 可以添加或减去（而不是仅添加，如果从字面上理解，这就是您的问题所暗示的）。请注意，如果您真的想坚持a1 是肯定发生的，那么您可以从x 中减去它，并将上述算法应用于列表的其余部分和调整后的目标。
最后，不难看出，如果您使用权重集{2*a1, 2*a2, 2*a3, .... 2*ay} 和目标总和为x + a1 + a2 + ... + ay 求解subset sub problem，那么选择的子集将完全对应于正迹象出现在原问题的解决方案中。因此，您的问题很容易简化为子集和问题，因此确定它是否有任何解决方案是 NP 完全的（并且 NP 很难将它们全部列出）。
【讨论】：
我们有条件：
a1 ± a2 ± ... ± ay = x, y<20 [1]
首先，我将概括条件[1]，允许包括“a1”在内的所有“a”为±：
±a1 ± a2 ± ... ± ay = x [2]
如果我们有[2]的解决方案，我们可以很容易地得到[1]的解决方案
为了解决[2]，我们可以使用以下方法：
combinations list x
| x == 0 && null list = [[]]
| null list = []
| otherwise = plusCombinations ++ minusCombinations where
a = head list
rest = tail list
plusCombinations = map (\c -> a:c) $ combinations rest (x-a)
minusCombinations = map (\c -> -a:c) $ combinations rest (x+a)
解释：
第一个条件检查 x 是否达到零并使用列表中的所有数字。这意味着找到了解决方案，我们返回单个解决方案：[[]]
第二个条件检查列表是否为空，只要 x 不为 0，这意味着找不到解决方案，返回空解决方案：[]
第三个分支意味着我们可以有两种选择：将 ai 与“+”或“-”一起使用，因此我们连接正负组合
示例输出：
*Main> combinations [1,2,3,4] 2
[[1,2,3,-4],[-1,2,-3,4]]
*Main> combinations [1,2,3,4] 3
[]
*Main> combinations [1,2,3,4] 4
[[1,2,-3,4],[-1,-2,3,4]]
【讨论】：