递归：理解（子集和）包含/排除模式答案

【问题标题】：Recursion: Understanding (subset-sum) inclusion/exclusion pattern递归：理解（子集和）包含/排除模式
【发布时间】：2018-09-29 01:52:54
【问题描述】：

我需要了解这种递归是如何工作的，我了解简单的递归示例，但更高级的递归示例很难。即使我认为只有两行代码有问题...... return 语句本身。我只是对它的工作原理持空白，尤其是 and/or 运算符。非常欢迎任何见解。

      bool subsetSumExists(Set<int> & set, int target) {
      if (set.isEmpty()) {
         return target == 0;
      } else {
         int element = set.first();
         Set<int> rest = set - element;
         return subsetSumExists(rest, target)
             || subsetSumExists(rest, target - element);
         } 
      }

【问题讨论】：

那么您在理解递归或布尔运算符and/or时遇到了困难？
两者都有！就像和/或如何选择其中一个返回？第一个还是第二个？

标签： c++ recursion subset-sum

【解决方案1】：

递归代码通常与归约的概念相结合。一般来说，归约是一种通过某种变换将未知问题归结为已知问题的方法。

让我们看一下您的代码。您需要确定是否可以从输入数据集的元素构造给定的目标总和。如果数据集为空，除了将目标总和与0进行比较之外，别无他法。

否则，让我们应用缩减。如果我们从集合中选择一个数字，实际上可能有 2 种可能性 - 选择的数字参与您正在寻求的总和或不参与。这里没有其他可能性（涵盖所有可能性非常重要！）。事实上，选择哪个数据元素并不重要，只要您能涵盖剩余数据的所有可能性即可。

第一种情况：数字不参与求和。我们可以将问题简化为一个较小的问题，数据集没有被检查的元素和相同的目标总和。

第二种情况：数字参与求和。我们可以将问题简化为一个较小的问题，数据集没有被检查的元素，并且请求的总和减少了数字的值。

请注意，此时您不知道这些情况是否属实。您只需继续减少它们，直到找到可以确定答案的微不足道的空案例。

如果这两种情况中的任何一种情况都是正确的，那么原始问题的答案就是正确的。这正是运算符 || 所做的 - 如果它的任何操作数（两种情况的结果）为真，它将产生真。

【讨论】：

【解决方案2】：

|| 是逻辑或。它从左到右进行评估并短路。

这意味着在表达式 A || B 中，A 首先被计算。如果是true，则整个表达式为true，并且不进行进一步评估。如果A 是false，则计算B，表达式得到B 的值。

在您的示例中，A 是“尝试在不使用集合中的第一个元素的情况下获得相同的总和”。 B 是“使用集合中的第一个元素，这会减少总和，并尝试与其余元素一起获得。”

【讨论】：

【解决方案3】：

让我们先看看算法..

基本情况（即递归终止的情况）是集合为空的情况。
否则程序会将第一个元素从集合中减去。
现在它将调用subsetSumExists(rest, target) 并检查其是否为真，如果是，它将返回 true 否则它将调用 subsetSumExists(rest, target - element) 并返回任何内容返回。

简单来说，只有当第一个 subsetSumExists(rest, target) 返回 false 时，它才会调用 subsetSumExists(rest, target - element)。

现在让我们尝试用一个小样本集 {3,5} 和总和 8 来干运行这段代码。从现在开始我将调用函数 sSE

sSE({3,5}, 8) => "sSE({5}, 8) || sSE({5},(8-3))"

sSE({5}, 8)   => sSE({}, 8) || sSE({}, (8-5)) 

sSE({}, 8)    => false.. now will call sSE({}, (8-5))

sSE({}, 3)    => false.. now will call sSE({5}, (8-3))

sSE({5}, 5)   => sSE({}, 5} || sSE({}, (5-5))

sSE({}, 5)    => false.. now will call sSE({}, (5-5))

sSE({}, 0)    => true.. ends here and return true

【讨论】：

【解决方案4】：

要理解递归，您需要了解递归。为此，您需要反复思考。

在这种特殊情况下。

任何人：subsetSum(set, target)

如果set 为空且target 为0，则subsetSum 存在
否则，删除set 的第一个元素。检查subdetSum(set, target) 是否存在或subdetSum(set, target - removed_element) 存在（使用步骤0）

【讨论】：

+1 表示“要理解递归，您需要了解递归”
奇怪！当我读到“要理解递归，你需要理解递归”时，我有一种似曾相识的感觉。

【解决方案5】：

集合减法看起来是一种奇怪的语法，但我认为它意味着元素上的 pop()。

它通过找到所有可能的组合来“起作用”，尽管它是指数级的。

在|| 语句中，LHS 是包含当前元素的总和，RHS 是不包括它的总和。因此，您将在指数树中得到每个元素的每个组合打开或关闭。

顺便说一下，指数意味着如果您有 30 个元素，它将产生 2 的 30 次方，即0x40000000 或接近十亿个组合。

当然你可能会用完内存。

如果它找到解决方案，它可能不会运行所有 2^N 案例。如果没有解决方案，它将始终访问它们。

【讨论】：

【解决方案6】：

如果我为自己说话，理解问题的困难源于|| 运算符。我们换一种方式看一下相同代码的底部return语句，

if (subsetSumExists(rest, target - element))
        return true;
if (subsetSumExists(rest, target))
        return true;

return false;

【讨论】：