查找列表中值的最小数量以求和答案

【问题标题】：Finding the minimum number of values in a list to sum to value查找列表中值的最小数量以求和
【发布时间】：2012-09-27 07:15:53
【问题描述】：

如果给我一个排序列表/数组，即 [1,6,8,15,40]，数组的大小和请求的数字..

您如何从该列表中找到所需的最小数量的值以求和所请求的数量？

例如给定数组 [1,6,8,15,40]，我请求数字 23，它将从列表（8 和 15）中取 2 个值等于 23。然后该函数将返回 2 ( # 个值）。此外，数组中有无限数量的 1（因此您的函数将始终返回一个值）

感谢任何帮助

【问题讨论】：

标签： algorithm knapsack-problem

【解决方案1】：

NP-complete subset-sum problem 微不足道地简化了您的问题：给定整数集合 S 和目标值 s，我们构造集合 S' 对于 S 中的每个 x_k 具有值 (n+1) x_k 并将目标设置为等于 (n+1) s。如果有一个原始集合的子集S和s，那么在新的集合中最多会有一个大小为n的子集到(n+1) s，这样的集合不能包含额外的1。如果没有这样的子集，则作为答案生成的子集必须至少包含 n+1 个元素，因为它需要足够的 1s 才能达到 的倍数n+1.

因此，如果没有计算方面的革命，该问题将不允许任何多项式时间解。排除该免责声明后，您可以考虑一些 伪多项式时间 解决方案，如果集合的最大尺寸很小，这些解决方案在实践中效果很好。

这是一个可以执行此操作的 Python 算法：

import functools
S = [1, 6, 8, 15, 40] # must contain only positive integers
@functools.lru_cache(maxsize=None) # memoizing decorator
def min_subset(k, s):
    # returns the minimum size of a subset of S[:k] summing to s, including any extra 1s needed to get there
    best = s # use all ones
    for i, j in enumerate(S[:k]):
        if j <= s:
            sz = min_subset(i, s-j)+1
            if sz < best: best = sz
    return best

print min_subset(len(S), 23) # prints 2

即使对于相当大的列表（我测试了 n=50 个元素的随机列表），这也是易于处理的，提供它们的值是有界的。使用S = [random.randint(1, 500) for _ in xrange(50)]，min_subset(len(S), 8489) 的运行时间不到 10 秒。

【讨论】：

【解决方案2】：

可能有一个更简单的解决方案，但如果您的列表足够短，您可以尝试每组值，即：

1 --> 不是 23
6 --> 不是 23
...
1 + 6 = 7 --> 不是 23
1 + 8 = 9 --> 不是 23
...
1 + 40 = 41 --> 不是 23
6 + 8 = 14 --> 不是 23
...
8 + 15 = 23 --> 哦，看，是 23，我们添加了 2 个值

如果您知道您的列表已排序，则可以跳过一些测试，因为如果 6 + 20 > 23，则无需测试 6 + 40。

【讨论】：