数字子集的总和

Question

假设我有一个数字“n”和一个数字表。我想在表中选择最多四个数字，这四个数字的总和将是与 n 最接近的匹配项。给定表格的长度“L”，它必须经过的组合数是 (6*L + 11*L^2 + 6*L^3 + L^4)/24。

例如。说我有变量

n = 100

还有一组数字

t = {86, 23, 19, 8, 42, 12, 49}

根据这个列表，最接近 n 的 4 组合是 49 + 23 + 19 + 8 = 99。

以尽可能少的计算次数来执行此操作的最佳方法是什么？

Answer 1

这看起来像是 'subset sum'（参见：http://en.wikipedia.org/wiki/Subset_sum_problem）问题的变体，已知它是 NP 完全的，所以很遗憾很可能不会有任何聪明的算法在最坏的情况下，它的运行速度会比项目数量的指数更快。

如果要检查的项目不多（大约 10 个左右），您可以尽快尝试深度优先搜索修剪分支。

如果有更多的项目需要检查，而不是寻找最佳解决方案，您最好尝试找到一个比较好的近似值。

Answer 2

假设所有数字都是正整数，可以按照 Yexo 指出的那样完成：

local n = 100
local t = {86, 23, 19, 8, 42, 12, 49}
local max_terms = 4
-- best[subset_size][terms][k] = {abs_diff, expr}
local best = {[0] = {}}
for k = 1, n do best[0][k] = {k, ''} end
for terms = 0, max_terms do best[terms] = best[0] end
for subset_size = 1, #t do
   local new_best = {}
   for terms = subset_size == #t and max_terms or 0, max_terms do
      new_best[terms] = {}
      for k = subset_size == #t and n or 1, n do
         local b0 = best[terms][k]
         local diff = k - t[subset_size]
         local b1 = terms > 0 and (
            diff > 0 and {
               best[terms-1][diff][1],
               best[terms-1][diff][2]..'+'..t[subset_size]
            } or {math.abs(diff), t[subset_size]}
         ) or b0
         new_best[terms][k] = b1[1] < b0[1] and b1 or b0
      end
   end
   best = new_best
end
local expr = best[max_terms][n][2]:match'^%+?(.*)'
print((loadstring or load)('return '..expr)()..' = '..expr)

-- Output
99 = 23+19+8+49