给定 n 个最大长度和已知的 1 位计数的所有可能的位组合

Question

我正在尝试推出自己的压缩算法作为实验。对于我的解决方案的一部分，我需要计算输入字节中 1 的位数。当前要求输入字节为 8 字节或 64 位长。这意味着我可以从 0 到 64 计算 1 位。

我正在努力理解和计算的是我使用这种方法可能遇到的最大组合数？

示例 1：

1 位计数 = 1 这意味着有 63 个零位 这意味着在这种情况下总共有 64 种组合

我不明白的地方

当有 32 个 1 位时会发生什么？到目前为止，我的方法是简单的乘法：所以对于 32 个 1 位和 32 个 0 位（请记住，我们的最大值为 64 位）所以 64 x 32 = 2048。

这个数学正确吗？

老实说，这似乎太低了，但我不确定。更令人困惑的是，我知道 1 和 0 的数量但不知道它们的确切位置，这如何减少最大可能的组合。很明显，如果这是一个简单的 64 位总共有多少组合，那将是 2^64，这是一个巨大的数字。让我怀疑我之前的数学是否准确。

Answer 1

这是combinations 中的一个问题。您有 64 个位置，并且想要选择其中的 32 个来放置 1 位。选择不能有任何重复，选择的顺序无关紧要。这使它成为一个组合问题。

答案是64对32的binomial coefficient，可以通过公式计算出来

64! / (32! * (64-32)!)

感叹号是factorial function。

计算结果是

1832624140942590534

这比您尝试的答案要大得多。

只需一点，结果就是 1 的二项式 64，这确实是 64，所以你猜对了。许多计算机语言中有许多包可以计算二项式系数。

请注意，这与其说是一道编程题，不如说是一道数学题。由于这确实直接来自编程问题，因此我不仅将您定向到Mathematics Stack Exchange，而且将来您应该在那里提出此类问题。