k-ary 树归纳证明

Question

我被这个问题难住了：

你有一棵树，每个内部节点都有 k 个子节点，其中 k >= 2。 如果这种树的深度为 d，那么它的最大节点数是多少？证明你的 对 d 进行归纳回答。

所以我意识到如果 k 为 2，几何级数将是 1 + 2 + 4 + 8...+2^n，但我不知道如何包含深度以及如何归纳证明它。

Answer 1

n 层的完整 k-ary 树中的项目数为(k^n - 1)/(k - 1)。

例如，一棵 5 层的二叉树有 31 个节点 (1 + 2 + 4 + 8 + 16)。或者：

(2^5 - 1)/(2 - 1) = 31/1 = 31

4 层的 4 叉树有 85 个节点 (1 + 4 + 16 + 64)

(4^4 - 1)/(4 - 1) = 256/3 = 85

如果你为k 的不同值写出其中的一些，你应该能够推导出归纳证明。