物理游戏编程 box2d - 使用扭矩定位类似炮塔的物体

Question

这是我在尝试使用 LÖVE 引擎实现游戏时遇到的问题，该引擎涵盖了带有 Lua 脚本的 box2d。

目标很简单：一个类似炮塔的物体（从顶部看，在 2D 环境中）需要确定自己的方向，使其指向目标。

炮塔在 x,y 坐标上，目标在 tx,ty 上。我们可以认为 x,y 是固定的，但 tx, ty 往往会从一个瞬间变化到另一个瞬间（即它们将是鼠标光标）。

炮塔有一个转子，可以在任何给定的时刻（顺时针或逆时针）施加旋转力（扭矩）。该力的大小有一个上限，称为 maxTorque。

炮塔也有一定的转动惯量，它对角运动的作用与质量对直线运动的作用相同。没有任何形式的摩擦，所以如果炮塔有角速度，它会继续旋转。

炮塔有一个小型 AI 功能，可以重新评估其方向以验证其指向正确的方向，并激活旋转器。这种情况每 dt 发生一次（每秒约 60 次）。现在看起来像这样：

function Turret:update(dt)
  local x,y = self:getPositon()
  local tx,ty = self:getTarget()
  local maxTorque = self:getMaxTorque() -- max force of the turret rotor
  local inertia = self:getInertia() -- the rotational inertia
  local w = self:getAngularVelocity() -- current angular velocity of the turret
  local angle = self:getAngle() -- the angle the turret is facing currently

  -- the angle of the like that links the turret center with the target
  local targetAngle = math.atan2(oy-y,ox-x)

  local differenceAngle = _normalizeAngle(targetAngle - angle)

  if(differenceAngle <= math.pi) then -- counter-clockwise is the shortest path
    self:applyTorque(maxTorque)
  else -- clockwise is the shortest path
    self:applyTorque(-maxTorque)
  end
end

...它失败了。让我用两个说明性的情况来解释：

• 炮塔围绕目标角度“摆动”。
• 如果目标“正好在炮塔后面，顺时针方向稍微”，炮塔将开始施加顺时针扭矩，并一直施加到超过目标角度的瞬间。那时它将开始在相反方向上施加扭矩。但它会获得很大的角速度，所以它会继续顺时针移动一段时间……直到目标“刚好在后面，但有点逆时针”。它会重新开始。所以炮塔会摆动，甚至转圈。

我认为我的炮塔应该在达到目标角度之前开始在“最短路径的相反方向”上施加扭矩（就像汽车在停止前制动一样）。

直觉上，我认为炮塔应该“在到达目标的一半左右时开始在最短路径的相反方向上施加扭矩”。我的直觉告诉我，它与角速度有关。还有一个事实是目标是移动的 - 我不知道我是否应该以某种方式考虑到这一点，或者只是忽略它。

如何计算炮塔必须“开始制动”的时间？

Answer 1

向后思考。当炮塔有足够的空间从当前角速度减速到死停时，炮塔必须“开始制动”，这与从死停加速到当前角速度所需的空间相同，即

|differenceAngle| = w^2*Inertia/2*MaxTorque.

如果您的步长过大，您可能还会遇到围绕目标的小幅度振荡的问题；这将需要更多技巧，您必须更快，更轻柔地刹车。在你看到之前不要担心。

现在这应该已经足够了，但还有一个问题可能会在以后让你绊倒：决定走哪条路。有时，如果您已经这样做了，那么走很长的路会更快。在这种情况下，你必须决定哪条路花费的时间更少，这并不难，但同样，当你到达它时，越过那座桥。

编辑：
我的方程式是错误的，它应该是 Inertia/2*maxTorque，而不是 2*maxTorque/Inertia（这就是我尝试在键盘上做代数的结果）。我已经修好了。

试试这个：

local torque = maxTorque;
if(differenceAngle > math.pi) then -- clockwise is the shortest path
    torque = -torque;
end
if(differenceAngle < w*w*Inertia/(2*MaxTorque)) then -- brake
    torque = -torque;
end
self:applyTorque(torque)

Answer 2

这似乎是一个可以通过PID controller 解决的问题。我在工作中使用它们来控制加热器输出以设定温度。

对于“P”分量，您应用的扭矩与炮塔角度和目标角度之间的差值成正比，即

P = P0 * differenceAngle

如果这仍然振荡太多（它会有点），那么添加一个“I”组件，

integAngle = integAngle + differenceAngle * dt
I = I0 * integAngle

如果这个超调太多，那么添加一个“D”项

derivAngle = (prevDifferenceAngle - differenceAngle) / dt
prevDifferenceAngle = differenceAngle
D = D0 * derivAngle

P0、I0 和 D0 是常量，您可以对其进行调整以获得您想要的行为（即炮塔响应速度等）

作为提示，通常P0 > I0 > D0

使用这些术语来确定施加了多少扭矩，即

magnitudeAngMomentum = P + I + D

编辑：

这是一个使用Processing 编写的使用PID 的应用程序。在没有 I 或 D 的情况下它实际上工作正常。看到它工作 here

// Demonstration of the use of PID algorithm to 
// simulate a turret finding a target. The mouse pointer is the target

float dt = 1e-2;
float turretAngle = 0.0;
float turretMass = 1;
// Tune these to get different turret behaviour
float P0 = 5.0;
float I0 = 0.0;
float D0 = 0.0;
float maxAngMomentum = 1.0;

void setup() {
  size(500, 500);  
  frameRate(1/dt);
}

void draw() {
  background(0);
  translate(width/2, height/2);

  float angVel, angMomentum, P, I, D, diffAngle, derivDiffAngle;
  float prevDiffAngle = 0.0;
  float integDiffAngle = 0.0;

  // Find the target
  float targetX = mouseX;
  float targetY = mouseY;  
  float targetAngle = atan2(targetY - 250, targetX - 250);

  diffAngle = targetAngle - turretAngle;
  integDiffAngle = integDiffAngle + diffAngle * dt;
  derivDiffAngle = (prevDiffAngle - diffAngle) / dt;

  P = P0 * diffAngle;
  I = I0 * integDiffAngle;
  D = D0 * derivDiffAngle;

  angMomentum = P + I + D;

  // This is the 'maxTorque' equivelant
  angMomentum = constrain(angMomentum, -maxAngMomentum, maxAngMomentum);

  // Ang. Momentum = mass * ang. velocity
  // ang. velocity = ang. momentum / mass
  angVel = angMomentum / turretMass;

  turretAngle = turretAngle + angVel * dt;

  // Draw the 'turret'
  rotate(turretAngle);
  triangle(-20, 10, -20, -10, 20, 0);

  prevDiffAngle = diffAngle;
}

Answer 3

好的，我相信我找到了解决方案。

这是基于 Beta 的想法，但有一些必要的调整。就是这样：

local twoPi = 2.0 * math.pi -- small optimisation 

-- returns -1, 1 or 0 depending on whether x>0, x<0 or x=0
function _sign(x)
  return x>0 and 1 or x<0 and -1 or 0
end

-- transforms any angle so it is on the 0-2Pi range
local _normalizeAngle = function(angle)
  angle = angle % twoPi
  return (angle < 0 and (angle + twoPi) or angle)
end

function Turret:update(dt)

  local tx, ty = self:getTargetPosition()
  local x, y = self:getPosition()
  local angle = self:getAngle()
  local maxTorque = self:getMaxTorque()
  local inertia = self:getInertia()
  local w = self:getAngularVelocity()

  local targetAngle = math.atan2(ty-y,tx-x)

  -- distance I have to cover
  local differenceAngle = _normalizeAngle(targetAngle - angle)

  -- distance it will take me to stop
  local brakingAngle = _normalizeAngle(_sign(w)*2.0*w*w*inertia/maxTorque)

  local torque = maxTorque

  -- two of these 3 conditions must be true
  local a,b,c = differenceAngle > math.pi, brakingAngle > differenceAngle, w > 0
  if( (a and b) or (a and c) or (b and c) ) then
    torque = -torque
  end

  self:applyTorque(torque)
end

这背后的概念很简单：我需要计算炮塔需要多少“空间”（角度）才能完全停止。这取决于炮塔移动的速度以及它可以对自身施加多少扭矩。简而言之，这就是我用brakingAngle 计算的结果。

我计算这个角度的公式与 Beta 的略有不同。我的一个朋友在物理方面帮助我，而且，他们似乎正在工作。添加 w 的符号是我的想法。

我必须实现一个“归一化”功能，它将任何角度放回 0-2Pi 区域。

最初这是一个纠缠不清的 if-else-if-else。由于条件非常重复，我使用了一些boolean logic 来简化算法。不利的一面是，即使它工作正常并且并不复杂，也无法解释它为什么工作。

一旦代码稍微净化一点，我将在此处发布演示链接。

非常感谢。

编辑：工作 LÖVE 示例现在可用here。重要的东西在actors/AI.lua里面（.love文件可以用zip解压器打开）

Answer 4

您可以找到施加加速扭矩时转子的角速度与角距离的方程，并找到施加制动扭矩时的相同方程。

然后修改断裂方程，使其以所需角度与角距离轴相交。通过这两个方程，您可以计算出它们相交的角距离，这将为您提供断点。

虽然可能完全错了，但很长一段时间都没有这样做过。可能是一个更简单的解决方案。我假设加速度不是线性的。

Answer 5

这个问题的简化版本很容易解决。假设电机具有无限转矩，即它可以瞬间改变速度。这显然在物理上不准确，但使问题更容易解决，最终不是问题。

关注目标角速度而不是目标角度。

current_angle = "the turrets current angle";
target_angle = "the angle the turret should be pointing";
dt = "the timestep used for Box2D, usually 1/60";
max_omega = "the maximum speed a turret can rotate";

theta_delta = target_angle - current_angle;
normalized_delta = normalize theta_delta between -pi and pi;
delta_omega = normalized_deta / dt;
normalized_delta_omega = min( delta_omega, max_omega );

turret.SetAngularVelocity( normalized_delta_omega );

这样做的原因是炮塔在达到目标角度时会自动尝试缓慢移动。

无限扭矩被炮塔不会立即尝试关闭距离的事实所掩盖。相反，它试图在一个时间步内缩小距离。此外，由于 -pi 到 pi 的范围非常小，可能疯狂的加速度永远不会显示出来。最大角速度使炮塔的旋转看起来逼真。

我从来没有计算出用扭矩而不是角速度求解的真正方程，但我想它看起来很像 PID 方程。