如何获得 4D 网格的 3D 横截面？

Question

我有一个polychoron，表示为一个四维网格，使用 face-vertex 方法存储。所有的面都是三角形。怎样才能得到图形的三维横截面？

我找到的最接近的东西是this question，但它是一维短的。

Answer 1

使用 4 个维度有点困难。

解决问题的唯一方法是找到维度类比。

让我们从二维开始

凸二维多边形具有凸一维边：线段。

填充的凸多边形的横截面是一条线段。

计算你的 poligons 边缘与相交线的交点，你会得到一个凸多边形的两个交点，横截面将是一条线段。

为此，您可以轻松地转换坐标，以便在坐标系的 Y 轴上做横截面。边的两点是A和B，它们的坐标是a1，a2和b1，b2。

如果 a1 和 b1 的符号相同，（又名 a1*b1 > 0）边不会与 Y 轴相交。

否则计算 k = a1/(a1-b1)。

那么交点的坐标就是：(0; (1-k)*a2+k*b2)

正如我所说的凸多边形，你会得到两个交点，连接这两个点以获得一维横截面。

现在让我们推广到 3D

凸面 3D 网格具有凸面 2D 边：三角形。

再次，变换坐标以使操作更容易。让我们在 Y-Z 平面上获取网格的横截面，因此 X 坐标将再次为零。

获取三角形的横截面。对它们的每个边缘使用上面的算法。 由于我们有 3 个维度，边缘的端点将具有坐标 a1、a2、a3 和 b1、b2、b3。如果 a1*b1

设 k = a1 / (a1 - b1)

交点坐标为(0; (1-k)*a2+k*b2; (1-k)*a3+k*b3)。存储这个坐标，还要存储网格的 A 点和 B 点的索引（边缘索引）。以后会有用的。

对于每个三角形，这将产生一条线段。

现在您需要将这些横截面线段连接到一个多边形。这就是我们将边缘索引与交点一起存储的原因。您有一组线，您可以通过存储的边缘索引匹配它们的端点，因此您可以将它们连接成一个多边形。

现在让我们推广到 4D

凸形 4D 网格具有凸形 3D“边”：四面体。 （请注意您的面顶点表示可能不正确）

再次，变换坐标以使操作更容易。让我们在 Y-Z-W 超平面上获取网格的横截面，因此 X 坐标将再次为零。

获取四面体的横截面。对它们的每个面使用上面的算法。 由于我们有 4 个维度，边缘的端点将具有坐标 a1、a2、a3、a4 和 b1、b2、b3、b4。如果 a1*b1

设 k = a1 / (a1 - b1)

交点坐标为(0; (1-k)*a2+k*b2; (1-k)*a3+k*b3; (1-k)*a4+k*b4)。

对于四面体的每个三角形，这将产生一条线段。对于每个四面体，这将产生一个三角形。对于这些三角形的每条边，还存储线段起源的 3D 网格的三角形的 A、B 和 C 点的索引（面索引）。以后会有用的。

现在您需要将这些横截面三角形连接到 3D 网格。这就是我们将面部索引与相交边缘一起存储的原因。您有一组三角形，您可以通过存储的面索引匹配它们的边缘，因此您可以将它们连接成三角形网格。

对于凹面 4D 网格，您可能有多个 3D 网格。

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希望你能看到这个类比。

具体实现会有点困难，您需要处理所有极端情况（除以零情况、浮点错误等）。