big-O 表示法中的 n 是什么？

Question

这个问题很简单，但我就是找不到足够好的答案。在the most upvoted SO question regarding the big-O notation 上，它说：

例如，排序算法通常基于比较操作（比较两个节点以确定它们的相对顺序）进行比较。

现在让我们考虑一下简单的冒泡排序算法：

for (int i = arr.length - 1; i > 0; i--) {
    for (int j = 0; j < i; j++) {
        if (arr[j] > arr[j+1]) {
            switchPlaces(...)
        }
    }
}

我知道最坏的情况是O(n²)，最好的情况是O(n)，但究竟什么是n？如果我们尝试对已经排序的算法进行排序（最好的情况），我们最终会什么都不做，那么为什么它仍然是O(n)？我们仍在循环 2 个 for 循环，所以如果有的话，它应该是 O(n²)。 n 不能是比较操作的次数，因为我们还是比较所有的元素吧？

Answer 1

在分析排序算法的 Big-O 性能时，n 通常表示您要排序的元素数量。

因此，例如，如果您使用冒泡排序对 n 项目进行排序，则最坏情况下的运行时性能将是 O(n²) 次操作。这就是为什么冒泡排序被认为是一种极差的排序算法，因为它不能随着要排序的元素数量的增加而很好地扩展。随着要排序的元素数量线性增加，最坏情况的运行时间呈二次方增加。

这是一个示例图，展示了随着问题大小 N 的增加，各种算法如何根据最坏情况运行时间进行扩展。深蓝色的线代表线性缩放的算法，而洋红色/紫色的线代表二次算法。

请注意，对于足够大的 N，二次算法最终需要比线性算法更长的时间来解决问题。

图表取自http://science.slc.edu/~jmarshall/courses/2002/spring/cs50/BigO/。

另见

• formal definition of Big-O。

Answer 2

我认为这里有两件事混淆了，n 和受 Big-O 分析限制的 n 的功能。

按照惯例，对于任何算法复杂性分析，n 是输入的大小，如果没有指定不同的话。对于任何给定的算法，有几个有趣的输入大小函数可以计算asymptotic bounds，例如Big-O。

排序算法中最常见的此类函数是最坏情况下的比较次数。如果有人说排序算法是O(n^2)，而没有指定任何其他内容，我会假设他们的意思是最坏情况比较计数是O(n^2)，其中n 是输入大小。

另一个有趣的函数是工作空间的数量，除了被排序的数组之外的空间。冒泡排序的工作空间是O(1)，常量空间，因为不管数组大小，它只使用几个变量。

冒泡排序可以编码为在最好的情况下只进行n-1 数组元素比较，通过在任何不进行交换的遍历之后完成。看到这个伪代码implementation，它使用swapped来记住是否有任何交换。如果数组已经排序，第一遍不进行交换，所以排序在一遍之后完成。

Answer 3

n 通常是输入的大小。对于数组，这将是元素的数量。

要查看不同的情况，您需要更改算法：

for (int i = arr.length - 1; i > 0 ; i--) {
    boolean swapped = false;

    for (int j = 0; j<i; j++) {
        if (arr[j] > arr[j+1]) {
            switchPlaces(...);
            swapped = true;
        }
    }

    if(!swapped) {
        break;
    }
}

您的算法的最佳/最差情况都是O(n^2)，但由于有可能提前返回，现在最好的情况是O(n)。

Answer 4

n 是数组长度。你想找到T(n)算法复杂度。

访问内存然后检查条件是非常昂贵的。因此，您将 T(n) 定义为访问内存的数量。

在给定的算法 BC 和 WC 中使用 O(n^2) 访问内存，因为您检查 if 条件 O(n^2) 次。

使复杂性更好：持有一个标志，如果你不在主循环中做任何交换，这意味着你的数组已经排序，你可以休息。

现在，在 BC 中，数组已排序，并且您访问所有元素一次，因此 O(n)。 而在 WC 中仍然是 O(n^2)。