加速在给定范围内查找倍数的算法

Question

我不知道如何加快对给定范围内的倍数求和的算法。这是针对 codewars.com 上的问题 这里是问题的链接 codewars link

这是代码，我将在底部解释发生了什么

import itertools

def solution(number):
        return multiples(3, number) +  multiples(5, number) - multiples(15, number)

def multiples(m, count):

    l = 0
    for i in itertools.count(m, m):
        if i < count:
            l += i
        else:
            break
    return l

print solution(50000000) #takes 41.8 seconds
#one of the testers takes 50000000000000000000000000000000000000000 as input

# def multiples(m, count):
#     l = 0
#     for i in xrange(m,count ,m):
#         l += i
#     return l

所以基本上问题要求用户返回一个数字中所有 3 和 5 的倍数的总和。这是测试人员。

test.assert_equals(solution(10), 23)
test.assert_equals(solution(20), 78)
test.assert_equals(solution(100), 2318)
test.assert_equals(solution(200), 9168)
test.assert_equals(solution(1000), 233168)
test.assert_equals(solution(10000), 23331668)

我的程序得到正确答案没有问题。当输入很大时就会出现问题。当传入一个像 50000000 这样的数字时，需要 40 多秒才能返回答案。我被要求接受的输入之一是 500000000000000000000000000000000000000000，这是一个巨大的数字。这也是我使用itertools.count() 的原因我在第一次尝试中尝试使用xrange 但范围无法处理大于c 类型long 的数字。我知道问题最慢的部分是倍数方法......但它仍然比我第一次尝试使用列表理解并检查i % 3 == 0 or i % 5 == 0，有什么想法吗？

Answer 1

这个解决方案对于大数字应该更快。

def solution(number):
    number -= 1
    a, b, c = number // 3, number // 5, number // 15
    asum, bsum, csum = a*(a+1) // 2, b*(b+1) // 2, c*(c+1) // 2
    return 3*asum + 5*bsum - 15*csum

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说明：

取从 1 到 n 的任意序列：

1, 2, 3, 4, ..., n

它的总和总是由公式n(n+1)/2 给出。如果您认为表达式 (1 + n) / 2 只是计算该特定数字序列的平均值或 Arithmetic mean 的快捷方式，则可以轻松证明这一点。因为average(S) = sum(S) / length(S)，如果你取任意一个数列的平均值，再乘以数列的长度，就得到了数列的总和。

如果给定一个数 n，我们想要某个给定 k 到 n 的倍数之和，包括 n，我们想要求和：

k + 2k + 3k + 4k + ... xk

其中 xk 是小于或等于 n 的 k 的最大倍数。现在请注意，这个总和可以分解为：

k(1 + 2 + 3 + 4 + ... + x)

我们已经得到了 k，所以现在我们只需要找到 x。如果 x 被定义为你可以将 k 乘以得到小于或等于 n 的自然数的最大数，那么我们可以使用 Python 的整数除法得到数 x：

n // k == x

一旦我们找到 x，我们可以使用前面的公式找到任何给定 k 到给定 n 的倍数之和：

k(x(x+1)/2)

我们给定的三个 k 是 3、5 和 15。

我们在这一行找到我们的 x：

a, b, c = number // 3, number // 5, number // 15

在这一行中计算它们的倍数之和，最多为 n：

asum, bsum, csum = a*(a+1) // 2, b*(b+1) // 2, c*(c+1) // 2

最后，在这一行中将它们的总和乘以 k：

return 3*asum + 5*bsum - 15*csum

我们有我们的答案！