将运行时间减少到 O(n)

Question

我收到了这个关于硬件的问题，但我不知道该怎么做：
数组 A[1...n] 包含从 0 到 n 的所有整数，除了一个。数组未排序。
在这个问题中，我们无法通过单个操作访问 A 中的整个整数。
A 的元素以二进制表示，我们可以用来访问它们的唯一操作是“获取 A[i] 的第 j 位”，这需要恒定的时间。

我必须在 O(n) 时间内找到丢失的整数。

正常情况下需要的时间是 O(NlgN) （在 N 数组上运行，并获取所有 N - lgn 位函数的位）。

如果不阅读所有位，我该怎么做？

Answer 1

我们现在假设对于某些 k，n 是 2^k - 1。

让我们再看一个 k = 3 的例子。

000
001
010
011
100
101
110
111

您会注意到，当有一个完整集合时，如上图所示，每一列（每个数字的位置）都有相同数量的 1 和 0。当然，为了方便起见，我们将其显示为已排序，但实际上，我并不是说它是。

我们来看看下面的列表

000
001
010
011
100
110
111

我们查看所有元素的第一位 ( O(n) ) 并找出哪个计数小于另一个。

我们看到，对于第一位，有一个数字，其最高有效位中的 1 缺失。这意味着我们知道我们的数字在其最高位有一个。

基本上，我们分成两组，一组最高有效位为 1，另一组最高有效位为 0。较小的一组向我们展示了缺失数字的位。

我们在较小的分区上做同样的事情。

因为它是 O(n) + O(n/2) + O (n/4) ... 它基本上是 O(2n)，即 O(n)。

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一般情况请参考the following document, bottom of page 1。

基本上，它涉及利用这样一个事实，即当 n 不是 2 的幂时，您可以考虑这样一个事实，即给定 n，您确切知道有多少应该属于 bit=1 分区和 bit=如果这是一个完整的集合，则为 0 分区。