一般多项式方程的缓慢计算

Question

我正在尝试制作一个通用多项式函数，它给出了计算它的时间段，最高多项式幂powr，以及每个常数a；其中a 和powr 的长度相同。

我的代码方法如下：其中time 的每个元素从powr 转换为一个向量，然后当与a 逐个元素相乘时，然后计算结果向量的总和以使其成为一个元素。

for i=1:length(time) 
    result(i)=sum((time(i).^[powr]).*[a]);
end

问题在于，time 拥有的元素越多和/或a 和powr 的长度越长，执行此计算所需的时间就太长了。有没有办法更快地进行这个计算？

Answer 1

阿米亚：

代码运行缓慢的原因是计算不是多项式因式，这意味着它没有利用正在运行的产品。例如，你的多项式是 3 次的（即y = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d）。您的代码设置方式使得x（类似于您的time 变量）首先被立方（3 次乘法 + 1 乘以 a），然后平方（2 次乘法 + 1 乘以b)，然后引用（0 次乘法 + 1 乘以 c），最后添加 d。这相当于 9 次乘法和 3 次加法。以这种方式计算多项式需要sum(1:n) 乘法和n 加法。

如果改为将多项式分解为：y = ((a*x + b)*x + c)*x + d，则乘法次数减少到 3（从 9 次）并且加法保持在 3。事实上，多项式因式分解方法使用 n 乘法和 @ 987654332@ 加法（n 是多项式的阶数）。因此，我们可以看到，多项式因式分解在计算工作量中的扩展速度明显慢于（我们称之为蛮力方法）。

要对更高次多项式执行此操作，我建议您将代码修改为：

N = length(time); %Get number of time values on which the polynomial evaluation is needed.
hmp = length(a); %I'm assuming a contains the polynomial coefficients in ascending order.
result = ones(N,1)*a(end); %Preallocate memory for results.
for i=hmp-1:-1:1
    result = result.*time + a(i); %Compute the factored parenthesis 'outward'
end

其中N 是您要评估多项式的​​时间值的数量，hmp 是最高幅度功率。将result 设为向量会使循环同时计算所有时间条目的多项式。这个for 循环利用了多项式因式分解，与不必要地从头开始逐个计算幂相比，它的扩展性要好得多。