通过求解受等式约束的不等式系统在 R 中建立套利策略

Question

我正在尝试构建套利投资组合 x 使得 Sx = 0 和 Ax>=0，其中 A 是 t=1 时的收益矩阵，S 是 t=0 时的价格。我无法手动完成，所以我尝试使用 R 中的 limSolve 和 lpSolve 包中包含的函数，但没有成功，因为我继续获得零向量（我需要非平凡的解决方案）。我也不知道如何自己编码。任何有关如何进行的帮助或提示将不胜感激。谢谢！

    A = data.frame(
              cbind(
                 c(2,1,0),
                 c(1,1,1),
             c(0,1,2),
             c(3,2,1),
             c(1,1,0)
              )
             ) %>% as.matrix()
f.con = A
    
    S = data.frame(
              cbind(
             c(1,1,1,2,1/3)
              )
             ) %>% as.matrix()

f.obj = c(t(S))

# Set unequality signs
f.dir <- c(">",
           ">",
           ">")

# Set right hand side coefficients
f.rhs <- c(0,
           0,
           0)

# Final value 
lp("min", f.obj, f.con, f.dir, f.rhs)$solution

# Variables final values
lp("max", f.obj, f.con, f.dir, f.rhs)$solution

Answer 1

我们首先解释为什么问题中的代码得到了它的结果。

请注意，存在 x >= 0 的隐式约束。

关于引用等式约束的主题，问题中显示的代码中没有等式约束。

关于最小值，在lp 参数中> 表示>= 很明显x=0 是可行的。鉴于目标向量的所有分量都是正的，它导致最小值为 0。来自?lp

const.dir：给出方向的字符串向量 约束：每个值应该是“," 或 ">="。 （在每一对中，这两个值是相同的。）

关于最大值，解没有上限约束，并且目标向量的分量都是正的，因此没有有限解。线性程序是否成功应始终在显示解决方案之前显示，如果不成功则不应显示解决方案，因为它没有意义。

关于代码，cbind 已经生成了一个矩阵，因此将其转换为数据框然后再转换回矩阵是没有意义的。此外，目标可以表示为纯向量，并且约束的 rhs 可以写为标量，该标量将被回收到适当的长度。我们可以将问题中的代码等效地编写为：

library(lpSolve)

A <- cbind(2:0, 1, 0:2, 3:1, c(1, 1, 0))
S <- c(1, 1, 1, 2, 1/3)

res1 <- lp("min", S, A, ">=", 0)   
res1
## Success: the objective function is 0 
res1$solution
## [1] 0 0 0 0 0

res2 <- lp("max", S, A, ">=", 0)
res2
## Error: status 3 

CVXR

如下所示，使用 CVXR 更容易对此进行表述。

找到满足 Ax >= 0 和 Sx == 0 的向量 x。（A 和 S 来自上方。）我们添加约束 -1

library(CVXR)

x <- Variable(5)
objective <- Maximize(sum(x))  # arbitrary objective
constraints <- list(A %*% x >= 0, sum(S*x) == 0, x >= -1, x <= 1)
problem <- Problem(objective, constraints)
soln <- solve(problem)

给予：

> soln$status
[1] "optimal"

> soln$value
[1] 1.66666

> soln$getValue(x)
           [,1]
[1,]  0.8788689
[2,]  0.4790521
[3,]  0.3087133
[4,] -0.9999857
[5,]  1.0000113

lpSolve 再次

为此使用 lpSolve 改变变量

x = 2*y-1

或等效

y = (x+1)/2

转换

Ax >= 0
Sx == 0
-1 <= x <= 1

到

2Ay >= A1
2Sy >= S'1
0 <= y <= 1

所以我们写：

f.con <- rbind(2*A, 2*S, diag(5))
f.dir <- c(rep(">=",3),  "=", rep("<=", 5))
f.rhs <- c(rowSums(A), sum(S), rep(1, 5))

res3 <- lp("max", rep(1, 5), f.con, f.dir, f.rhs)
res3
## Success: the objective function is 3.333333 
2*res3$solution-1
## [1]  1.000000e+00 -4.966028e-13  6.666667e-01 -1.000000e+00  1.000000e+00