为什么带有 list.add 的嵌套循环会给出 O(n^4) 时间复杂度？答案

【问题标题】：Why does nested loop with list.add gives O(n^4) time complexity?为什么带有 list.add 的嵌套循环会给出 O(n^4) 时间复杂度？
【发布时间】：2018-08-18 12:32:11
【问题描述】：

我遇到了这个代码 sn-p 的大 O 时间复杂度的问题：保证以下代码的时间复杂度为O(n^4)。

ArrayList<Integer> list = new ArrayList<Integer>();

for(int i = n; i>=1; i--)           //n 
    for(int j = 1; j<=i; j++)       //n     
        if(!list.contains(i*j))     //n?    
            list.add(i*j);          //1?

我的问题：为什么是 O(n^4) 而不是 O(n^3)？

【问题讨论】：

n 初始化为什么？
@JanusVarmarken 这是完整的问题。 n 是什么来确定大 O 无关紧要...您可以假设它是大于 1 的某个数字。
我怀疑这可能是由于 add 造成的，因为 arraylist 由数组支持，该数组在填充时会加倍，并且所有元素都必须复制到新数组中。
但是，这只会在 n 上添加另一个常量（因为 if 不是 looping 在 add 周围）。

标签： java time-complexity big-o

【解决方案1】：

list 大约有 n^2/2 条目[*]，因此查找 list.contains(i*j) 是 O(n^2) 而不是 O(n)

*：少了一些，因为没有添加重复项，但我想足以算作n^2

【讨论】：

list.contains(i*j) 在这里如何给出 O(n^2)？介意详细说明吗？
忽略重复；最后，您将在列表中添加 (n^2)/2 条目。 contains 有 O(r) 其中r 是列表中的条目数，因此O(n^2/2) = O(n^2)
很好的观察！
@k5_ 如果有 3 层嵌套 for 循环，都循环 n 次，在这种情况下，.contains() 将是 O(n^3) ？这意味着整体复杂度变为 O(n^6) ？这是正确的理解吗？

【解决方案2】：

list.contains(i*j) 发生在 O(n^2) 中，因为 i 和 j 取决于 n（如果使用线性搜索）。基本上它将是嵌套循环中的 2 个 O(n) 循环和嵌套循环内 O(n^2) 的操作，因此 O(n^4)。

【讨论】：

i*j 只是一个整数，所以它将是 list.contains(x) 其中x = i*j。所以它应该只是线性的，O(n) 查找时间。
@Bill 在这种情况下的复杂性取决于列表中的条目数，而不是参数值。
@Bill 就 x 而言，即 i*j 它是线性的，但就 n 而言它是二次的。
@k5_，这是我评论的重点。它应该只是线性查找，因为参数无关紧要。
@k5_，呵呵！当然。我的电线交叉了。 O(n^2) 在这种情况下，因为列表将包含 n^2 元素，最坏的情况。对不起，我的困惑。