前言
前面学习过一般意义上的函数性质的综合应用，我们感觉难度就有点大；本博文涉及到的是具体函数--三角函数的各种性质的综合应用，涉及三角函数的定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性、对称性等，自然难度也比较大。
典例剖析
解析：\(f(x)=sin2x+\sqrt{3}(1+cos2x)-\sqrt{3}+1\)
\(=sin2x+\sqrt{3}cos2x+1\)
\(=2sin(2x+\cfrac{\pi}{3})+1\)
①求周期； 由\(T=\cfrac{2\pi}{2}\)，得到\(T=\pi\)
②求值域\((x\in R\) 或 \(x\in [-\cfrac{\pi}{3}，\cfrac{\pi}{4}])\)；最值(和最值点)；
若\(x\in R\)，则
当\(sin(2x+\cfrac{\pi}{3})=1\)时，即\(2x+\cfrac{\pi}{3}=2k\pi+\cfrac{\pi}{2}(k\in Z)\)，即\(x=k\pi+\cfrac{\pi}{12}(k\in Z)\)时，\(f(x)_{max}=2\times1+1=3\)；
当\(sin(2x+\cfrac{\pi}{3})=-1\)时，即\(2x+\cfrac{\pi}{3}=2k\pi-\cfrac{\pi}{2}(k\in Z)\)，即\(x=k\pi-\cfrac{5\pi}{12}(k\in Z)\)时，\(f(x)_{max}=2\times(-1)+1=-1\)；
若\(x\in [-\cfrac{\pi}{3}，\cfrac{\pi}{4}]\)，则可得
\(-\cfrac{2\pi}{3}\leq 2x\leq \cfrac{\pi}{2}\)，则\(-\cfrac{\pi}{3}\leq 2x+\cfrac{\pi}{3}\leq \cfrac{5\pi}{6}\)，
故当\(2x+\cfrac{\pi}{3}=-\cfrac{\pi}{3}\)，即\(x=-\cfrac{\pi}{3}\)时，\(f(x)_{min}=f(-\cfrac{\pi}{3})=2\times (-\cfrac{\sqrt{3}}{2})+1=-\sqrt{3}+1\)；
故当\(2x+\cfrac{\pi}{3}=\cfrac{\pi}{2}\)，即\(x=\cfrac{\pi}{12}\)时，\(f(x)_{max}=f(\cfrac{\pi}{12})=2\times 1+1=3\)；
③求单调区间\((x\in R\) 或 \(x\in [-\cfrac{\pi}{4}，\cfrac{\pi}{2}])\)
④求函数\(f(x)\)对称轴方程和对称中心坐标；
令\(2x+\cfrac{\pi}{3}=k\pi+\cfrac{\pi}{2}(k\in Z)\)，得到\(f(x)\)对称轴方程为\(x=\cfrac{k\pi}{2}+\cfrac{\pi}{12}(k\in Z)\)；
令\(2x+\cfrac{\pi}{3}=k\pi(k\in Z)\)，得到\(f(x)\)的对称中心坐标为\((\cfrac{k\pi}{2}-\cfrac{\pi}{6}，1)(k\in Z)\)
⑤求奇偶性(奇函数利用\(f(0)=0\)；偶函数利用\(f(0)=f(x)_{max}\)或\(f(x)_{min}\))
比如，函数\(g(x)=2sin(2x+\phi+\cfrac{\pi}{3})(\phi\in (0，\pi))\)是偶函数，求\(\phi\)的值。
分析：由于函数\(g(x)\)是偶函数，则在\(x=0\)处必然取到最值，
故有\(2\times 0+\phi+\cfrac{\pi}{3}=k\pi+\cfrac{\pi}{2}(k\in Z)\)，
则\(\phi=k\pi+\cfrac{\pi}{6}(k\in Z)\)
令\(k=0\)，则\(\phi=\cfrac{\pi}{6}\in (0，\pi)\)，满足题意，故所求\(\phi=\cfrac{\pi}{6}\)时，函数\(g(x)\)是偶函数。
①函数\(f(x)\)在区间\([0，\cfrac{4\pi}{3}]\)上先增后减；
②将函数\(f(x)\)的图像向右平移\(\cfrac{\pi}{6}\)个单位后得到的函数\(g(x)\)的图像关于原点对称；
③点\((-\cfrac{\pi}{3},0)\)是函数\(f(x)\)图像的一个对称中心；
④函数\(f(x)\)在\([\pi,2\pi]\)上的最大值为\(1\)，其中正确的是【\(\qquad\)】
解析：由函数\(f(x)\)的最小正周期为\(4\pi\)，可知\(\omega=\cfrac{2\pi}{4\pi}=\cfrac{1}{2}\)，即\(f(x)=2\sin(\cfrac{1}{2}x+\phi)\)
又由于其图像关于直线\(x=\cfrac{2\pi}{3}\)对称，则函数在\(x=\cfrac{2\pi}{3}\)处的函数值必须达到最大值或者最小值，即\(f(\cfrac{2\pi}{3})=\pm 2\)，将\(x=\cfrac{2\pi}{3}\)代入得到，\(2\sin(\cfrac{1}{2}\times\cfrac{2\pi}{3}+\phi)=\pm 2\)，即\(\sin(\cfrac{\pi}{3}+\phi)=\pm1\)，即\(\cfrac{\pi}{3}+\phi=k\pi+\cfrac{\pi}{2}\)，令\(k=0\)，得到\(\phi=\cfrac{\pi}{6}\in (-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2})\)，满足题意，故\(f(x)=2\sin(\cfrac{1}{2}x+\cfrac{\pi}{6})\)。[注意，此时就不能利用先求解对称轴方程族，再给\(k\)赋值的方法来求解，原因是此时\(\phi\)的值未知]
对于①而言，用验证法，由于\(0\leqslant x\leqslant\cfrac{4\pi}{3}\)，则\(\cfrac{\pi}{6}\leqslant \cfrac{1}{2}x+\cfrac{\pi}{6}\leqslant\cfrac{5\pi}{6}\)
故当\(\cfrac{\pi}{6}\leqslant \cfrac{1}{2}x+\cfrac{\pi}{6}\leqslant\cfrac{\pi}{2}\)时，即\(0\leqslant x\leqslant\cfrac{2\pi}{3}\)时，函数单调递增，
当\(\cfrac{\pi}{2}\leqslant \cfrac{1}{2}x+\cfrac{\pi}{6}\leqslant\cfrac{5}{6}\pi\)时，即\(\cfrac{2\pi}{3}\leqslant x\leqslant\cfrac{4\pi}{3}\)时，函数单调递减，故①是正确的；
当然，还有一个方法是计算法，可以先求得\(f(x)\)的所有单调区间族，然后给\(k\)赋值，看看\([0，\cfrac{4\pi}{3}]\)具体落在什么区间上再做定夺，不过这个思路会很费时间，不大可取，故上述的验证方法是最快的。
对于②而言，将函数\(f(x)\)的图像向右平移\(\cfrac{\pi}{6}\)个单位后得到的函数为\(g(x)=2\sin(\cfrac{1}{2}x+\cfrac{\pi}{12})\)，由于\(g(0)\neq 0\)，故\(g(x)\)的图像关于原点不对称，故②是错误的；
对于③而言，由于\(f(-\cfrac{\pi}{3})=2\sin(\cfrac{1}{2}\times (-\cfrac{\pi}{3})+\cfrac{\pi}{6})=0\)，故点\((-\cfrac{\pi}{3},0)\)是函数\(f(x)\)图像的一个对称中心；即③是正确的；
对于④而言，\(x\in [\pi,2\pi]\)，故\(\cfrac{1}{2}x+\cfrac{\pi}{6}\in [\cfrac{2\pi}{3},\cfrac{7\pi}{6}]\)，故\(f(x)_{max}=\sqrt{3}\)，故④是错误的，
综上所述，选\(C\).
解析： \(f(x)\) 的最小正周期为 \(2\pi\)，易知 \(A\) 正确；
\(f(\cfrac{8\pi}{3})=\cos(\cfrac{8\pi}{3}+\cfrac{\pi}{3})=\cos3\pi=-1\)，为 \(f(x)\) 的最小值， 故 \(B\)正确；
因为 \(f(x+\pi)=\cos(x+\pi+\cfrac{\pi}{3})=-\cos(x+\cfrac{\pi}{3})\)，
所以\(f(\cfrac{\pi}{6}+\pi)=-\cos(\cfrac{\pi}{6}+\cfrac{\pi}{3})=-\cos\cfrac{\pi}{2}=0\)，故 \(C\)正确；
由\(f(\cfrac{2\pi}{3})=\cos(\cfrac{2\pi}{3}+\cfrac{\pi}{3})=-\cos\pi=-1\)，为 \(f(x)\) 的最小值，
故 \(f(x)\) 在 \((\cfrac{\pi}{2}, \pi)\) 上不单调，故\(D\)错误. 故选\(D\)；
①\(f(x)\)在\((0，2\pi)\)有且仅有\(3\)个极大值点；
②\(f(x)\)在\((0，2\pi)\)有且仅有\(2\)个极小值点；
③\(f(x)\)在\((0，\cfrac{\pi}{10})\)上单调递增；
④\(\omega\) 的取值范围是\([\cfrac{12}{5}，\cfrac{29}{10})\)，
其中所有正确结论的编号是【\(\qquad\)】
解析：已知\(f(x)=\sin(\omega x+\cfrac{\pi}{5})(\omega>0)\) 在\([0, 2\pi]\) 有且仅有\(5\)个零点，如图，
其图像的右端点的横坐标\(2\pi\) 在\([a, b)\)上时，此时 \(f(x)\) 在 \((0,2\pi)\) 有且仅有 \(3\)个极大值点，
但\(f(x)\)在\((0,2\pi)\)可能有\(2\)或\(3\)个极小值点，所以①正确，②不正确；
当\(x\in[0, 2\pi]\)时，\(\omega x+\cfrac{\pi}{5}\in[\cfrac{\pi}{5}, 2\pi\omega+\cfrac{\pi}{5}]\)，
由\(f(x)\) 在\([0,2\pi]\)有且仅有\(5\)个零点可得此处，当我们以\(\omega x+\cfrac{\pi}{5}\)为横轴做图像时，要保证有且仅有\(5\)个零点，必须限制右端点满足条件\(5\pi\leqslant 2\pi\omega+\cfrac{\pi}{5}<6\pi\)\(\quad\)，\(5\pi\leqslant 2\pi\omega+\cfrac{\pi}{5}<6\pi\)
解得\(\omega\)的范围是\([\cfrac{12}{5},\cfrac{29}{10})\)，所以④正确；
当\(x\in (0,\cfrac{\pi}{10})\)时，\(\cfrac{\pi}{5}<\omega x+\cfrac{\pi}{5}<\cfrac{\pi\omega}{10}+\cfrac{\pi}{5}<\)\(\cfrac{49\pi}{100}<\cfrac{\pi}{2}\)，
[注释：由于\(\omega\in [\cfrac{12}{5},\cfrac{29}{10})\)，故\(\cfrac{\pi\omega}{10}+\cfrac{\pi}{5}<\cfrac{\pi}{10}\times \cfrac{29}{10}+\cfrac{\pi}{5}=\cfrac{49\pi}{100}\)]
所以 \(f(x)\) 在 \((0,\cfrac{\pi}{10})\) 单调递增，所以③正确. 故选\(D\).
高阶应用
①. \(f(x)\) 的最小正周期为 \(\pi\) ；
②. \(f(x)\) 在区间 \(\left(-\cfrac{\pi}{6}, 0\right)\) 上是增函数；
③. \(f(x)\) 的 图象关于点 \(\left(\cfrac{\pi}{3}, 0\right)\) 对称；
④. \(f(x)\) 的图象关于直线 \(x=\cfrac{\pi}{12}\) 对称.
以其中两个论断作为条件， 另两个论断作为结论， 写出你认为正确的一个命题(写成 “\(p\) \(\Rightarrow\) \(q\) " 的形式， 用到的论断都用序号表示) .
解析: 根据 ① \(f(x)\) 的最小正周期为 \(\pi\)， 可得 \(\omega=2\)， 故函数 \(f(x)=\sin(2x+\varphi)\)，
再由 ④ 函数 \(f(x)\) 的图象关于直线 \(x=\cfrac{\pi}{12}\) 对称， 可得 \(\sin\left(2\times\cfrac{\pi}{12}+\varphi\right)\) 为 \(f(x)\) 的最值，
又 \(-\cfrac{\pi}{12}<\varphi<\cfrac{\pi}{2}\)， 所以 \(2\times\cfrac{\pi}{12}+\varphi=\cfrac{\pi}{2}\)，
解得 \(\varphi=\cfrac{\pi}{3}\)， 此时 \(f(x)=\sin\left(2x+\cfrac{\pi}{3}\right)\)，
可借助验证法，推得 ② 和 ③ 成立， 故由 ①④ 可以推出 ②③ 成立.
同样， 容易由 ①③ 推出 ②④ 成立 .
答案: ①④ \(\Rightarrow\) ②③ 或 ①③ \(\Rightarrow\) ②④(写出一个即可)