函数图像的辨析

前言

函数图像的识别、辨析问题，常考查函数的奇偶性，函数值的正负、单调性、对称性、零点、极限、极值等，常用排除法；其一般的步骤是：定义域；值域；周期性；奇偶性；确定单调区间，极值点等；求函数的某些特殊点，如与坐标轴的交点，不连续点；考察渐近线；

解题思路

①由函数的定义域判断图像的左、右位置；

②由函数的定义域判断图像的上、下位置；

③由函数的单调性判断图像的变化趋势；

④由函数的奇偶性判断图像的对称性；

⑤由函数的周期性判断图像的循环往复；

奇偶函数

常见的奇函数：

$f(x)=kx$；

$f(x)=x^3$；

$f(x)=x^k(k为奇数)$；

$y=Asin\omega x$；

$y=e^x-e^{-x}$；

$y=2^x-2^{-x}$；

$y=ln\frac{x+1}{x-1}$；

$f(x)=x+\frac{k}{x}(k\neq 0)$；

$g(x)=lg(\sqrt{sin^2x+1}+sinx)$；

$g(x)=x^3+lg(\sqrt{x^2+1}+x)$；

$f(x)=x^3\pm 3sinx$

$f(x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)$；

$g(x)=\cfrac{2^x-1}{2^x+1}$；

$f(x)=\cfrac{2^x+1}{2^x-1}$

备注：$g(-x)=\cfrac{2^{-x}-1}{2^{-x}+1}=\cfrac{(2^{-x}-1)\cdot 2^x}{(2^{-x}+1)\cdot 2^x}=\cfrac{1-2^{x}}{2^{x}+1}=-g(x)$

常见的偶函数：

$f(x)=x^2$；

$y=k|x|(k\in R)$；

$y=e^{|x|}$；

$f(x)=x^k(k为偶数)$；

$y=Acos \omega x+k$；

$y=e^x+e^{-x}$；

$y=2^x+2^{-x}$；

$f(x)=ln(1+|x|)$；

$f(x)=\frac{|x|}{x^2+1}$

$h(x)=ln(2^x+2^{-x})$；

典例剖析

【2019高三理科数学启动卷，2019陕西省二检试卷第7题】已知函数$f(x)=x^2-e^{|x-1|}-2x+3$，则$f(x)$的大致图像是【】

分析：为求作函数$f(x)=x^2-e^{|x-1|}-2x+3=(x-1)^2-e^{|x-1|}+2$的图像，选函数$g(x)=x^2-e^{|x|}+2$为模板函数，偶函数，故函数$f(x)$的图像关于直线$x=1$对称，故排除$B$和$D$，再用赋值法，$f(3)=3^2-e^2-6+3<0$，则排除$C$，故选$D$。

【2019高三理科数学三轮模拟试题】已知函数$f(x)=e^{|x|}\cdot cosx$，则$f(x)$的大致图像是【】

分析：函数$f(x)$为偶函数，结合赋值法，选$C$.

已知函数 $f(x)=$ $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{x}, x \leqslant \mathrm{e}, \\ \ln x, x>\mathrm{e},\end{array} \quad\right.$ 则函数 $y=f(\mathrm{e}-x)$ 的大致图像是【$\qquad$】

提示：选$B$.

【2019-湖南株洲高三教学质量统一检测】设函数 $f(x)$$=x\sin x+\cos x$ 的图像在点 $(t, f(t))$ 处切线的斜率为 $g(t)$，则函数 $y$$=g(t)$ 的图像一部分可以是【$\qquad$】

解：由 $f(x)=x\sin x+\cos x$ 可得 $f\'(x)=\sin x+x\cos x-\sin x$$=x\cos x$，

即 $y=g(t)=t\cos t$，是奇函数，排除选项 $B$， $D$；

当 $t\in\left(0, \cfrac{\pi}{2}\right)$ 时， $y=g(t)>0$，排除选项 $C$.故选 $A$ .

函数 $y=\cfrac{2\sin x}{2^{x}+2^{-x}}$ 的图象大致为【$\qquad$】

解：函数的定义域为 $R$， $f(-x)=\cfrac{2\sin(-x)}{2^{-x}+2^{x}}=-\cfrac{2\sin x}{2^{x}+2^{-x}}=-f(x)$，

则函数为奇函数，其图象关于原点对称，故可排除选项 $C$；

又当 $x \in(0, \pi)$ 时， $\sin x>0,2^{x}+2^{-x}>0$，故 $\cfrac{2\sin x}{2^{x}+2^{-x}}>0$，

可排除选项 $B$；又 $2^{x}+2^{-x} \geqslant 2$，$2\sin x\leqslant 2$，不能同时取等，

故 $\cfrac{2 \sin x}{2^{x}+2^{-x}}<1$，可排除选项 $D$ . 故选: $A$.