命题
命题存在的以及符号化的原因在于推理，所以将事件进行转化。
命题的定义
能判断真假的陈述句。
不满足简单命题的命题
命题的初级阶段组合：
联结词符
合式公式：
不仅可以代表常项也可以代表变项
具有多层层次，所以一个合式公式也可以叫做x层公式。
定义again：
赋值：让公式为真的值，成真赋值；让公式为假的赋值，成假赋值；
公式：所有赋值都是成真赋值，重言式；所有赋值都是成假赋值；矛盾式；有真有假，可满足式；
?微笑
出现一个公式判断方法（算是有点逻辑了---由公式到判断公式）：真值表
定义again
真值函数：一个$n$阶笛卡儿积到一阶的一个对应关系。跟函数有关系的定义
非要和别人比的命题
A跟B一样：等值关系，
推演过程：等值演算
怎么推演：通过等值式来推演；具体看书上P9
标准型公式--范式
层层嵌套：
仅有有限个命题变项或其否定的析取式：简单析取式（简单？？?）
由这些有限析取式合取而成：合取范式
重要定义：范式存在定理（任意公式必存在（不唯一）等值的范式）
针对简单析取式（合取式）：
极小项：设有$n$个命题变项，若在简单合取式中每个命题变项与其否定有且仅有一个出现一次，这样的简单合取式称为极小项。
极大项：设有$n$个命题变项，若在简单析取式中每个命题变项与其否定有且仅有一个出现一次，这样的简单析取式称为极小项。
针对范式：
主析取范式：全是极小项组成的析取式
主合取范式：全是极大项组成的合取式
然后...这些定义有啥用：
- 判断俩命题公式是否等值：依据了主合取范式/主析取范式的唯一性
- 判断命题公式的类型：
公式的类型：矛盾式，重言式，可满足式
主析取范式
若含有$2^n$个极小项则为重言式
若不含有极小项则为矛盾式
求解真赋值
主合取范式
若含有$2^n$个极大项则为矛盾式
若不含有极大项则为重言式
求解成假赋值(所含极大项角码的二进制表示)
很有规律，所以其中的联系是什么？
- 主合取范式和主析取范式之间是对偶关系。
- $p\land q\land r$ 000,记作 $M_0$;
$\neg p\lor \neg q\land \neg r$ 000，记作$m_0$
唉~一旦命题之间的关联性多了之后，那么对单个命题之间的联结词就开始了简单处理---联结词全功能集。
$\neg (p\land q)$ ,$\uparrow$称为与非联结词
$\neg(p \lor q)$, $\downarrow$称为或非联结词
推理
公式与公式之间的一种关系：蕴涵$\rightarrow$
证明这种关系下的公式为重言式的过程叫推理
注：
- $A \Rightarrow B$表示$A \rightarrow B$重言式
- 推理正确不代表结论正确
如何推理：
推理定律P23
推理技巧P24
一阶逻辑
命题的一种拓展
命题知识一种比较简单的陈述，常常不足以表现人们想要表达的内容。
所以出现了一阶逻辑（谓词逻辑）。
对语言的一种数学描述
个体词、谓词、量词
1. 个体词
- 个体常项：表示具体或特定个体
- 个体变项：表示抽象或泛指个体
- 个体域（论域）：个体变项的取值范围
- 全总个体域：宇宙间的一切事物
2. 谓词
- 谓词常项：表示具体性质或者关系的谓词（....是无理数）
- 谓词变项：表示抽象或泛指谓词
- 元数：谓词中包含的个体词数
- $n$元谓词：含$n(n\ge 1)$个个体词的谓词；
- 0元谓词：不带个体变项的谓词($L(a,b),a,b都是个体常项$)
3.量词
- 全称量词：$\forall$
- 存在量词：$\exists$
逻辑命题的符号化 $end!$
合式公式
合式公式的组成：
指导变项、量词的辖域、个体变项的自由出现和约束出现。
特别地，若合式公式中不存在自由出现的个体变项，则称为封闭的合式公式（闭式）
另：引入函数和谓词的类似赋值讨论-解释
解释
有了解释之后，就可以开始判断合式公式的真值。
公式的类型：逻辑有效式、矛盾式、可满足式
命题($A_0$)->谓词($A$)（代换）
$A$是$A_0$的代换实例
非要和别人比的合式公式
等值式
除了24个命题中出现的等值式P9
量词否定式：
$\neg \forall xA(x)\Leftrightarrow \exists x \neg A(x);$
$\neg \exists xA(x) \Leftrightarrow \forall x \neg A(x).$
量词辖域收缩/扩张等值式
$\forall x(A(x) \lor B) \Leftrightarrow \forall xA(x) \lor B;$
$\forall x(A(x)\land B)\Leftrightarrow\forall xA(x)\land B;$
$\forall x(A(x)\rightarrow B)\Leftrightarrow\exists xA(x)\rightarrow B;$!
$\forall x(B\rightarrow A(x))\Leftrightarrow B\rightarrow\forall xA(x);$
$\exist x(A(x) \lor B) \Leftrightarrow \exists xA(x) \lor B;$
$\exists x(A(x)\land B)\Leftrightarrow\exists xA(x)\land B;$
$\exists x(A(x)\rightarrow B)\Leftrightarrow\forall xA(x)\rightarrow B;$!
$\exists x(B\rightarrow A(x))\Leftrightarrow B\rightarrow\exists xA(x);$
注意：蕴含式中结合了 $A\rightarrow B \Leftrightarrow \neg A \land B$
量词分配等值式
$\forall x(A(x)\land B(x))\Leftrightarrow \forall A(x)\land\forall xB(x)$
$\exists x(A(x)\lor B(x))\Leftrightarrow \exists A(x)\lor\exists xB(x)$
任意合取，存在析取
范式
前束范式：
$Q_1x_1Q_2x_2...Q_kx_kB$
$B$为不含量词的谓词（合式）公式
集合
集合是对事物的抽象，是一些事物的整体。
定义
对集合的相关定义：
子集（包含关系）、真子集、空集、全集($E/U$)、幂集($|P(A)| = 2^n$)。
对集合关系(谓词、事件)的相关定义：
$\subset \subseteq \in \ne$
定理
- 空集是唯一的
- 空集是一切集合的子集
集合间的运算
并($\cup$)、交($\cap$)、相对补($-$)、绝对补($\sim$)、对称差($\oplus$)。
$A\cup B = \left{ x|x\in A \lor x\in B\right}$
$A\cap B = \left{x |x \in A \land x \in B\right}$
$A - B = \left{x|x \in A \land x \not\in B\right}$
$\sim A = E - A = \left{x |x\in E \land x\not\in A\right}$
$A\oplus B = (A-B)\cup(B - A)$
集合运算的算律
表示法：文氏图
相关定律：
P60
吸收律;
德摩根律;
计数
包含排斥原理
$|A\cup B| =|A| + |B| - |A \cap B|;$
元组序列和函数
有序数对
$<x,y> \neq <y,z>$
有序$n$元组
$<x_1,x_2,x_3...,x_n> = <<x_1,...,x_{n-1}>,x_n>$
笛卡尔积
$A\times B = \left{ <x,y> |x\in A \land y \in B \right}$
注：笛卡尔积只对$\cap$和$\cup$运算满足分配律。
证明过程：P77
看证明过程可以从本质上了解其分配律的合理性。
笛卡尔积产生关系集，一般只讨论二阶笛卡尔积也就是只讨论二元关系。
关系(Relationship)
如果一个集合为空集或者它的元素都是有序对，则称这个集合是一个二元关系，一般记作$R$。若$<x,y>\in R, xRy$，若$<x,y>\in \not R,x R\not y$。
二元关系
$A\times B$，$A$到$B$的二元关系
$A\times A$，$A$上的二元关系
$|A| = n, |A\times A| = n^2, P(|A\times A|) = 2{n2}$，每个子集代表一个$A$上的关系。
原则上关系非常的多，但是大部分都没有实际意义；
特殊关系
对于任何集合
- 空关系：$\varnothing$
- 全域关系：$E_A = \left{ <x,y>|x\in A \land y\in A \right}$
- 恒等关系：$I_A = \left{ <x,x> | x \in A\right}$
- 包含关系：$R = \left{ <x,y>|x,y\in A \land x \subseteq y\ \right}$
对于实数集合
- 小于等于关系：$L_A = \left{ <x,y>|x,y\in A \land x \leq y \right}$
- 整除关系：$D_B = \left{ <x,y>|x,y \in A \land x |y\right}$
表达关系的方法
矩阵表示
图表示
关系的运算
逆运算：$F^{-1}$
合成运算：$F\circ G$（这里默认是左复合）$<x,y>\in F\circ G$则意味着存在某个“中间变量”$z$，$x$通过$G$变到$z$，$z$再通过$F$变到$y$，也就是$x$通过$F\circ G$的作用最终变到$y$。
限制：$F\upharpoonright A$（$A$是集合，$F$是关系，相当于规定$domR$）
像（域）：$F[A] = ran(F\upharpoonright A)$
复合关系运算
$(F{-1}){-1} = F;$
$(F\circ G)^{-1} = G^{-1}\circ F^{-1}.$
$F\circ (G\cup H) = F\circ G \cup F \circ H$
$(F \cap G)\circ H = F\circ H \cap G\circ H$
幂运算
$R^n = R^{n-1}\circ R;$
$R^0 = \left{ <x,x>|x \in A \right }.$
$R^m\circ R^n = R^{m+n};$
$(Rm)n = R^{mn}.$
关系的性质
- 自反性
- 反自反性
- 对称性
- 反对称性
- 传递性
关系的闭包
闭包：本质(满足一定条件的关系的集合) $R\'$
闭包的一般性质
- $R\'$是自反的（对称的或传递的）;
- $R\subseteq R\'$;
- 对$A$上的任何包含$R$的自反关系（对称或者传递关系）$R\'\'$都有$R\'\subseteq R\'\'$;
注意：一般称谓：自反闭包$r(R)$， 对称闭包$s(R)$， 传递闭包$t(R)$。
特殊性质
- $r(R) = R\cup R^0;$
- $s(R) = R\cup R^{-1};$
- $t(R) = R \cup R^1 \cup R^2\cup .....$
传说中重要的关系
等价关系和偏序关系（最重要的两种关系(from textbook)）它们都具有良好的性质和广泛的应用。
等价关系
$R$是非空集合$A$上的关系，如果$R$满足自反、对称和传递的性质，则$R$为$A$上的等价关系。
定义：$[x]_R = \left{ y|y\in A \land xRy \right};$
性质：
- $[x] =\not \varnothing, 且[x] \subseteq A;$
- $若xRy, 则[x] = [y];$
- $若x R\not y, 则[x]\cap [y] = \varnothing .$
偏序关系
$R$是非空集合$A$上的关系，如果$R$满足自反、反对称和传递的性质，则$R$为$A$上的偏序关系。记作，≼
偏序集$<A,R>$,$R$是A上的偏序关系。
盖住$x$与$y$可比，若$x≺y$，且不存在$z\in A$ 使得$x≺z≺y$，则$y$盖住$x$。
全序集任意的$x,y$都可比。
$B\subseteq A$
$\exists y\in B, \forall x(x\in B\rightarrow y≼x),y是B的$最小元
$\exists y\in B, \forall x(x\in B\rightarrow x≼y),y是B的$最大元
$\exists y\in B,\lnot\exists x(x\in B \land x≺y),y是B的$极小元
$\exists y\in B,\lnot\exists x(x\in B \land y≺x),y是B的$极大元
$B\subseteq A$
$\exists y\in A,\forall x(x\in B\rightarrow x≼y),y是B的$上界
$\exists y\in A,\forall x(x\in B\rightarrow y≼x),y是B的$下界
上界中的最小元，最小上界
下界中的最大元，最大下界
函数
映射，特殊的二元关系。
定义
$F$为二元关系,$\forall x\in domF, \exists y\in ranF,y$唯一；称$F$为函数。
若$<x,y>\in F ,则F(x) = y；$
$A,B 是集合$
$domf = A;$
$randf\subseteq B.$
$f:A\rightarrow B.$
所有$A$到$B$的函数构成的集合 $B^A$
$|B| = n,$
$|A| = m,$
$|B^A| = n^m.$
函数的分类：满射、单射、双射；
常见函数:
常函数
恒等函数：$A$上的恒等关系$I_A$
单调函数：
单调递增:$x_1 <ｘ_2,f(x_1)\leq f(x_2)$
严格单调递增:$x_1 < x_2, f(x_1)<f(x_2)$
单调递减、严格单调递减
特征函数
$A\subseteq A\', A\'的特征函数\chi^{A\'}:A\rightarrow \left{0,1\right}$
复合函数
反函数
图
图的概念较多
概念
- 多重集：允许元素重复出现的集合
- 无序积：$\left{ \left{ a,b\right} |ａ\in A\land b\in B\right}$,$A$&$B$.并将无序对用$(a,b)$表示。
- $n$阶图：有$n$个顶点的图。
- 零图：无顶点的图。
- 平凡图：只有一个顶点没有边的图。
- 孤立点：无边关联的顶点。
- 环：一条边所关联的两个顶点重合。
- 度数：顶点作为边的端点的次数之和$d(v)$
- 最大度：$\Delta(D)$
- 最小度：$\delta(D)$
- 最大出度：$\Delta^+(D)$
- 最大入度、最小出度、最小入度
- 平行边：有多余一条的边的起点和终点相同，称这些边为平行边
- 重数:平行边的条数
- 多重图：含平行边的图
- 简单图：不含平行边也不含环
- $n$阶完全图：$G=<V,E>$是$n$阶无向简单图，且任何顶点都与其余的$n-1$个顶点相邻。
- 生成子图：$G\': G\'\subseteq G,V\' = V$
- 导出子图：$G[V\'],G[E\']$
- 同构：$G_1 \cong G_2$
- 通路($\Gamma$)、回路
- 简单通路（回路）：若$\Gamma$中的边互不相同。
- 初级通路（回路）：若$\Gamma$中的边互不相同且顶点互不相同。
- 复杂通路（回路）：若$\Gamma$中的边重复出现。
- 连通：顶点与顶点之间存在通路。
- 连通图：任意两个顶点都是连通的。
- 连通分支：$p(G)$，按照连通关系划分的或干子图
- 删除：$G-V\',G-R\'$
- 点割集、边割集：删除顶点（边）之后连通分支数增加
- 割点、割边（桥）
定理
握手定理：
$G=<V,E>,V=\left{ v_1,v_2,....v_n \right},|E| = m,\sum_{i=1}^n d(v_i) = 2m(=2(n-1), tree).$
在一个$n$阶图中，若从顶点$u$到$v$$(u\not\in v)$存在通路，则从$u$到$v$存在长度小于等于$n-1$的通路。
在一个$n$阶图中，若从顶点$v$到自身存在回路，则从$v$到自身的存在长度小于等于$n$的回路。
图的表示
关联矩阵
$m_{ij}表示顶点v_i与边e_j的关联次数，称(m_{ij})_{n \times m}为G的关联矩阵M(G)。$
在有向图中：
$m_{ij} = \left{\begin{array}{rcl} 1,& v_i 为e_j的始点， \ 0,&v_i与e_j不关联，\-1,&v_i是e_j的终点。\end{array}\right.$
行为顶点
列为边
每一列的值之和为2
每一行的值之和为顶点$v_i$的度数
元素总和为$2m$
邻接矩阵
$a_{ij}表示顶点v_i与v_j的边的条数，称(a_{ij})_{n \times n}为D的关联矩阵A(D)。$
注：相关性质见P127
可达矩阵
$p_{ij}= \left { \begin{array}{rcl} 1, & 若v_i可达_j，\ 0,& 否则\end{array} \right.$
特殊的图
二部图
性质
任何一条边的端点一个属于$V_1$，另一个属于$V_2$。$V_1$和$V_2$称为互补顶点子集。
判断定理
一个无向图$G = <V_1,E>$是二部图当且仅当$G$中没有长度为奇数的回路。
匹配问题
$G=<V_1,V_2, E>, M \in E$,$M$中任意两条边不相邻。---匹配
$M$中在加一条边就存在有两条边相邻。---极大匹配
$M$中的边与$G$中的所有点关联。---完美匹配
若$M$为$G$的最大匹配， $|V_1|\leq |V_2|, |M| = |V_1|$。---完备匹配
对于完备匹配
存在完备匹配的充分必要条件：
$V_1$中的任意$k$个结点至少邻接$V_2$中的$k$个结点。
存在完备匹配的充分条件：
$\exists t,V_1$中的每个顶点至少关联$t$条边，$V_2$中的每个顶点至多关联$t$条边。
欧拉图
定义
经过图中每一条边且仅一次并行遍图中的每个顶点的回路（通路）,称为欧拉回路（欧拉通路）,存在该回路的图称为欧拉图。
定理
对于无向图，充分必要条件
欧拉回路：连通图且无奇度顶点。
欧拉通路：连通图且恰有两个奇度顶点，为欧拉通路的两端点。
对于有向图，充分必要条件
欧拉回路：连通图且每个顶点的入度等于出度。
欧拉通路：连通图且除欧拉通路两端点外的每个顶点的入度等于出度，并且其中一个顶点的入度比出度大1，一个小1。前者为终点。
哈密顿图
定义
经过图中每一个顶点且仅一次的回路（通路）,称为哈密顿回路（哈密顿通路）,存在该回路的图称为哈密顿图。
定理
必要条件
无向图$G = <V,E>$是哈密顿图，$V_1$是$V$的一个非空子集，则$p(G-V_1)\leq |V_1|$
无向图$G = <V,E>$存在哈密顿通路，$V_1$是$V$的一个非空子集，则$p(G-V_1)\leq |V_1|+1$
充分条件
任何一对不相邻的定点的度数之和都大于等于$n-1$,哈密顿通路；
任何一对不相邻的顶点的度数之和都大于$n$，哈密顿图。
在$n(n\ge 2)$阶有向图$D = <V,E>$中，如果所有有向边均用无向边代替，所得无向图中含有生成子图$K_n$，则有向图中存在哈密顿图。
平面图
定义
若能把图$G$画在平面上，并且没有边交叉，$G$为平面图；画出的这个图形成为图$G$的平面嵌入。
$G$为一个平面嵌入，
$G$的边可以把这个图分成若干区域，面积无限的区域称为无限面（外部面）,$R_0$。面积有限的区域称为内部面（有限面）。
包围面$R$的所有边构成的回路称为该面的边界，边界的长度称为面$R$的次数，$deg( R )$.
$n$阶简单平面图是极大平面图的充分必要条件：
它是连通的并且每个面的次数都为3。
欧拉公式
任意连通平面图：$n-m+r = 2$;
$n$，顶点数，$m$，边数，$r$，面数。
任意的$p$个连通分支的平面图：$n-m+r = p+1$
$G$是连通的平面图，且每个面的次数至少为$l(l\ge 3)$,则$m\leq \frac{l}{l-2}(n-2)$.
$G$是有$p$个连通分支的平面图，且每个面的次数至少为$l(l\ge 3)$,则$m\leq \frac{l}{l-2}(n-p-1)$.
推论：$K_5,K_{3,3}$都不是平面图。
库拉斯图基定理
一个图是平面当且仅当它不含与$K_5$同胚的子图，也不含与$K_{3,3}$同胚的子图。
一个图是平面当且仅当它没有可收缩到$K_5$的子图，也没有可收缩到$K_{3,3}$的子图。
四色定理
任何平面图都是4-可着色的。
树
定义
- 无向树：不含回路的无向图，简称树
- 森林：每个连通分支均是树的非连通无向图。
- 平凡树：平凡图
- 树叶：度数为1的顶点
- 分支点： 度数大于等于2
- 生成树：$\Gamma$是$G$的生成子图并且是树
- 树枝：$G$在$\Gamma$中的边
- 弦：$G$不在$\Gamma$中的边
- 余树：$\Gamma$中所有弦的集合的导出子图
定理
树的等价定义（充分必要条件）
$G = <V,E>, |V| = n, |E| = m$
$G$连通且不含回路
$G$的每对顶点之间有唯一的一条路径
$G$是连通的且$m = n -1$
$G$中无回路且$m = n -1$
$G$中无回路，但在任两个不相邻的顶点之间增加一条边，就形成了唯一的一条初级回路。
$G$是连通的且每条边都是桥
$n$阶（区别数据结构中阶的含义）非平凡的树中至少有2片树叶。
任何无向连通图都有生成树
代数系统 （Algebra System）
二元运算
定义: $f: S\times S\rightarrow S$，$S$ is a set。称$f$为二元运算
$f: S\times S\times...\times S\rightarrow S$，$S$ is a set。称$f$为$n$元运算
denote
幺元($e$)：$e_l\circ x = x(x\circ e_r = x)$
零元($\theta$)：$\theta_l\circ x =\theta_l(x\circ\theta_r = \theta_r)$
逆元($y$)：$y_l\circ x = e(x \circ y_r = e)$
properties:
$x\circ y = y\circ x$-->交换律，$\circ$在$S$上是可交换的
$(x\circ y)\circ z = x\circ (y\circ z)$--> 结合律
$x \circ x = x$-->幂等律
$x (y\circ z) = (x * y)\circ(x z)$
$(y\circ z) * x = (y * x)\circ (z * x)$
*对$\circ$是可分配的
$x * (x \circ y) = x,$
$x \circ (x * y) = x.$-->吸收律
$x\circ y = x \circ z, x\ne e\Rightarrow y = z;$
$y\circ x = z \circ x, x\ne e\Rightarrow y = z;$-->消去律
代数系统
$<S,f_1,f_2,...,f_k>$
denote
特异元素(代数常数)：幺元、零元...
子代数($B$)：$V = <S,f_1,f_2,...f_k>, B\subseteq S,B\ne \varnothing$,$B$对于这些运算是封闭的，且$B$与$S$有着相同的代数常数
平凡子代数：最大与最小的子代数
真子代数：$B\subset S$
definitions
$V_1 = <S_1, \circ>, V_2 = <S_2, *>, V_1\times V_2 = <S, \bullet>, S = S_1 \times S_2,$
$\forall<x_1,y_1>,<x_2, y_2> \in S_1\times S_2$
$\Rightarrow<x_1,y_1>\bullet <x_2,y_2>=<x_1\circ x_2,y_1 * y_2>$
$V_1 = <S_1, \circ>, V_2 = <S_2, >,\varphi:S_1\rightarrow S_2.$
$\forall x,y\in S_1$
$\Rightarrow\varphi(x\circ y) =\varphi(x)\varphi(y)$
同态映射
满同态（满射）、单同态（单射）、同构（双射）