等距、相似、仿射、射影变换

等距变换

• \(\epsilon=\pm1\)如果\(\epsilon=1\)那么该等距变换是保向的，即为欧氏变换（平移＋旋转）
• 3个自由度

相似变换

• 其中标量ｓ表示均匀缩放
• ４个自由度

仿射变换

• A是一个２×２的非奇异矩阵，总能分解为$ A = R(\theta)R(-\phi)DR(\phi)$
• \(R(\theta)R(\phi)\)表示旋转角为\(\theta \phi\)的旋转
• D为对角矩阵\(D = \begin{bmatrix}\lambda_1 &0 \\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix}\)
• 分解式可由ＳＶＤ分解给出　\(A = UDV^T = (UV^T)(VDV^T) = R(\theta)(R(-\phi)DR(\phi))\)
• 仿射变换可以看成先一个旋转\(\phi\) 再在旋转后的ｘｙ方向上按比例因子\(\lambda_1 \lambda_2\)的缩放，再加上一个回旋 \(-\phi\)，最后再加一个旋转\(\theta\)
• 6个自由度

射影变换

• Ｈ矩阵乘以一个非零比例因子不会使射影变换改变，是一个齐次矩阵，有８个自由度

小结