矩阵2范数与向量2范数的关系 - wzd321

向量2范数是对应元素平方和：
$\lVert\bm{x}\rVert_2=\left(\sum_{i=1}^{n}x_i^2\right)^{\frac{1}{2}}$

矩阵2范数是：
$\lVert A\rVert_2=\sqrt{\lambda_{1}}$
其中 $\lambda_1$ 是矩阵 A^TA 的最大特征值.

除此之外，矩阵有一个F范数（Frobenius范数）倒是跟向量的2范数比较相似，是矩阵内所有元素平方和：
$\lVert A\rVert_F=\left(\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}^2\right)^{\frac{1}{2}}$

矩阵的2范数是向量二范数对应的诱导范数。给定某一种向量范数 $\|x\|$ ，它所对应的矩阵范数定义为：

$\|A\|=\sup_{x\neq 0}\frac{\|Ax\|}{\|x\|}$

左边的范数 $\|A\|$ 是矩阵范数，而右边分子分母都是向量范数，因为也是一个向量，通过这种方式定义出来的矩阵范数称为矩阵的诱导范数。可以证明，矩阵的2范数是由向量2范数诱导定义的。

更多的诱导范数的例子可以参照维基百科：Matrix norm - Wikipedia

参考：https://www.zhihu.com/question/57316170/answer/152423607