前言
同角公式
平方关系：
商数关系：
- 同角三角函数基本关系公式，强调的是
同角，只要角的形式相同即可，比如\(\sin^2(2x+\cfrac{\pi}{3})+\cos^2(2x+\cfrac{\pi}{3})=1\)一定成立，但是 \(\sin^2(2x+\cfrac{\pi}{3})+\cos^2(2x+\cfrac{\pi}{6})=1\)就不一定成立。
诱导公式
| 公式 | 一[同终边] | 二[对称] | 三[奇偶性] | 四[互补] | 五[互余] | 六[垂直] |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 角的大小 | \(2k\pi+\alpha\) | \(\pi+\alpha\) | \(-\alpha\) | \(\pi-\alpha\) | \(\cfrac{\pi}{2}-\alpha\) | \(\cfrac{\pi}{2}+\alpha\) |
| 正弦\(\Rightarrow\sin\) | \(sin\alpha\) | \(-sin\alpha\) | \(-sin\alpha\) | \(sin\alpha\) | \(cos\alpha\) | \(cos\alpha\) |
| 余弦\(\Rightarrow\cos\) | \(cos\alpha\) | \(-cos\alpha\) | \(cos\alpha\) | \(-cos\alpha\) | \(sin\alpha\) | \(-sin\alpha\) |
| 正切\(\Rightarrow\tan\) | \(tan\alpha\) | \(tan\alpha\) | \(-tan\alpha\) | \(-tan\alpha\) | \(\cot\alpha\)由于学习范围的限制，对最后两个诱导公式不要求掌握； | \(-\cot\alpha\) |
| 记忆口诀 | 函数名不变 符号看象限 |
函数名不变 符号看象限 |
函数名不变 符号看象限 |
函数名不变 符号看象限 |
函数名改变 符号看象限 |
函数名改变 符号看象限 |
[解释]诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．
(1)“奇”“偶”指的是“\(k\cdot\cfrac{\pi}{2}＋α(k∈Z)\)”中的\(k\)是奇数还是偶数；“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若\(k\)是奇数，则正、余弦互变，若\(k\)为偶数，则函数名称不变．
(2)“符号看象限”指的是在“\(k\cdot\cfrac{\pi}{2}＋α(k∈Z)\)”中，将\(α\)看成锐角时，“\(k\cdot\cfrac{\pi}{2}＋α(k∈Z)\)”的终边所在的象限．
和差角公式
关系梳理
- 和差角公式是诱导公式的拓展，诱导公式是和差角公式的特例；
举例说明：当\(sin(\alpha+\beta)\)中涉及到的角比较特殊时，比如\(\alpha=\cfrac{3\pi}{2}\)时，我们走诱导公式这条线比较快捷，即\(sin(\alpha+\beta)=sin(\cfrac{3\pi}{2}+\beta)=-cos\beta\)；
当涉及到的角非常一般时，我们只能走和差角公式这条线，即\(sin(\alpha+\beta)=sin\alpha\cdot cos\beta+cos\alpha\cdot sin\beta\)；
- 三角形中的三角函数关系，其实质是和差角公式在三角形中的应用；
\(sin(A+B)=sin(\pi-C)=sinC\)，\(cos(A+B)=cos(\pi-C)=-cosC\)，
\(sin\cfrac{A+B}{2}=sin(\cfrac{\pi}{2}-\cfrac{C}{2})=cos\cfrac{C}{2}\)，\(cos\cfrac{A+B}{2}=cos(\cfrac{\pi}{2}-\cfrac{C}{2})=sin\cfrac{C}{2}\)，
应用注意
- 互通
由诱导公式我们知道，\(sin(\cfrac{\pi}{2}-\alpha)=cos\alpha\)；
由和差角公式我们知道，以下的使用也是正确的，
\(sin(\cfrac{\pi}{2}-\alpha)=sin\cfrac{\pi}{2}cos\alpha-cos\cfrac{\pi}{2}sin\alpha=cos\alpha\)；
但是二者学习成本相比，记住诱导公式的结论，非常有必要；
- 不互通，下列公式中的\(\alpha\)，\(\beta\)，\(\alpha-\beta\)都受限，需要\(\neq k\pi+\cfrac{\pi}{2}\)；
\(tan(\alpha-\beta)=\cfrac{tan\alpha-tan\beta}{1+tan\alpha\cdot tan\beta}\)，
所以以下的变形是错误的，应该避免：
\(tan(\cfrac{\pi}{2}-\alpha)=\cfrac{tan\cfrac{\pi}{2}-tan\alpha}{1+tan\cfrac{\pi}{2}\cdot tan\alpha}\)
正确的变形应该是用诱导公式：\(\tan(\cfrac{\pi}{2}-\alpha)=\cfrac{1}{\tan\alpha}=\cot\alpha\)；
典例剖析
分析：由题可知，\(sinC=\cfrac{4}{5}\)，\(cosC=\cfrac{3}{5}\)，
在\(\triangle BCD\)中，由正弦定理可知，\(\cfrac{BD}{sinC}=\cfrac{3}{sin60^{\circ}}\)，解得\(BD=\cfrac{8\sqrt{3}}{5}\)；
\(cos\angle CBD=cos[\pi-(\angle BDC+\angle ACB)]=-cos(\angle BDC+\angle ACB)\)
\(=-cos60^{\circ}\cdot cos\angle ACB+\)\(sin60^{\circ}\cdot sin\angle ACB\)
\(=-\cfrac{3}{10}+\cfrac{4\sqrt{3}}{10}=\cfrac{4\sqrt{3}-3}{10}\).
解后反思：如果利用余弦定理求解\(AD\)，再用正弦定理求解\(sin\angle ABD\)，利用\(cos \angle CBD=sin\angle ABD\)，从而求得\(cos \angle CBD\)，这样的运算会很复杂。这个题目的求解也从另一个角度说明了公式\(cos(\alpha+\beta)\)存在的必要性。