卢卡斯定理

卢卡斯定理

用途

卢卡斯(\(Lucas\))定理用于求当\(n\)、\(m\)较大时，\(C_n^m mod\;p(p为质数)\)的值。

描述

递归形式

对于
\[ n,m \in \mathbb{Z},p为质数 \]
有
\[ C_n^m mod\;p=C_{n\;mod\;p}^{m\;mod\;p}\cdot C_{n/p}^{m/p} mod\;p \]

非递归形式

对于
\[ n,m \in \mathbb{Z},p为质数\\ 设m=\prod_{i=0}^{k}m_ip^i,n=\prod_{i=0}^{k}n_ip^i \]
有
\[ C_n^m mod\;p=\prod_{i=0}^{k}C_{n_i}^{m_i}mod\;p \]

使用方法

对于比较大的组合数，我们先利用卢卡斯定理将其拆分，拆分所得到的每个较小的组合数则可以用更简单的方法求解。对于递归形式，拆分出的\(C_{n\;mod\;p}^{m\;mod\;p}\)还原成阶乘形式后，由于\(p\)为质数且除数均与\(p\)互质，我们可以考虑运用费马小定理之类的方法求逆元进行计算。对于非递归形式，相当于把\(m\)、\(n\)均当做一个\(p\)进制下的数，其每一位也与\(p\)互质，也可以如此计算。

注意边界条件：当\(m=0\)时，\(C_n^m=1\)；当\(n<m\)时，\(C_n^m=0\)。阶乘可以进行预处理减少重复计算。

代码

//递归
int power(int b,int k)
{
    int base=1;
    while(k)
    {
        if(k&1)
            base=(long long)base*b%p;
        k>>=1;
        b=(long long)b*b%p;
    }
    return base;
}
int inv(int x)
{
    return power(x,p-2);
}
int C(int x,int y)
{
    return (long long)factorial[x]*inv((long long)factorial[y]*factorial[x-y]%p)%p;
}
int Lucas(int x,int y)
{
    if(!y)
        return 1;
    if(x%p<y%p)
        return 0;
    return C(x%p,y%p)*Lucas(x/p,y/p)%p;
}

//非递归
int Lucas(int x,int y)
{
    int result=1;
    while(x&&y)
    {
        if(x%p<y%p)
            return 0;
        result=(long long)result*C(x%p,y%p)%p;
        x/=p;
        y/=p;
    }
    return result;
}