20200627-终于到了可控可观!!!!!

进度日志

公共课一：政治

公共课二：英语一

业务课一：数学一

业务课二：自动控制原理、信号与系统

20200627

上午特征值特征向量相似对角化, 例题中有些矩阵真的让我头大...
下午现代控制原理中的可控性, 可观性. 真的是和线性代数关联太大了. 不过变换至约当标准形的变换阵还是不知道怎么求, 回去翻翻高代啥的.
晚上... 貌似晚上效率都不够... 只进行了一个块. 后续的相似对角化过的比较快, 还有一天应该可以过完例题. 最后一个实对称矩阵题型.

公共课一

NONE

公共课二

单词

业务课一

线性代数-教材
- 特征值与特征向量
  - 注意, 实对称矩阵只是特征值的代数重数等于几何重数, 不以为这其每个特征值代数重数为1. 即并不意味着矩阵的特征值相异.
    - 应该说, 矩阵的特征值相异是最特殊最"完美的"情形吗?
线性代数-习题
- 觉最难的部分是求特征值时行列式的含参消元...
- 活用单位矩阵相加减, 以及注意到多项式的特征值如何变化. 将对角线含参转化为常值计算特征值.
- 相似的传递性.
- 秩一矩阵直接写出特征值, 注意是若干个0, 和迹作为特征值.
- 注意到几何重数不大于代数重数, 故特征值重数为1的就不用考虑有多个特征向量对应.
- 注意两个矩阵若均相似于对角矩阵, 其特征值完全相同即为其二者相似的充分必要条件. 但若不相似与对角矩阵, 则无法从特征值相同推出其二者相似. 即, 两个矩阵不相似的矩阵其特征值也有可能相同.
- 注意到AB相似于BA的条件是其二者中有一个可逆.

业务课二

现代控制理论-教材
- 向量矩阵分析中的若干结果
  - 凯莱-哈密尔顿定理(Cayley-Hamilton)
    - 矩阵满足其自身的特征方程
      - 注意到adj(λI-A)是λ的n-1次多项式.(A为n维方阵)
      - 注意到矩阵与其伴随矩阵相乘是可交换的.
  - 最小多项式
  - 基于西尔维斯特的内插公式
- 可控性...finally...
  - 状态完全可控, 列向量线性无关.
  - 状态完全可控的另一种表现形式(对角化)
    - 特征向量互不相同, 则可用找到一个变换矩阵.
    - 注意到若A的特征值相异, 那么A的特征向量也互不相同; 然而逆定理不成立, 例如具有多重特征值的nxn维实对称矩阵有n个互不相同的特征向量
  - 在s平面上状态完全可控的充分必要条件
    - 在传递函数或传递矩阵中不出现相约现象. 若发生相约, 那么在相约的模态上, 系统不可控. (相约, 失去了一个自由度)\
  - 输出可控性
    - 行满秩
  - 不可控系统
    - 不可控系统包含这样一种子系统: 这种子系统在物理上与输入量不相连接.
  - 可稳定性
    - 不可控的模态稳定, 不稳定的模态可控. 通过采取适当的反馈, 可以使这个系统变得稳定.
- 可观测性
  - 在最短可能时间间隔内, 根据可测量变量求不可测量状态变量的重构.
  - 研究可观测性的充分必要条件时, 只需考虑无外力作用下的方程所描述的系统就可以了.
    - 又是列满秩!! 又是线性无关!!!
    - 控制函数u不影响可观测性
  - 在s平面上完全可观测性的条件
    - 传递函数或者传递矩阵中不发生相约现象. 如果存在相约, 在输出中约去的模态就不可观测了.
      - 注意传递矩阵和状态转移矩阵不是一个概念
  - 完全可观测性条件的另一种形式
    - 对角化.
  - 可控性和可观测性之间的关系
    - 对偶原理. (本质是拉普拉斯变换的对偶原理吗?)
    - 不是, 应该是矩阵行列转置带来的对偶性.
    - 关键在共轭转置矩阵.(共轭...还行)
  - 可检测性
    - 对于一个局部可观测的系统, 如果其不可观测的模态是稳定的, 而其可观测的模态是不稳定的, 那么就称该系统是可检测的.
    - 可检测性与可稳定性是互为对偶的.
- 状态变量反馈系统的设计步骤
  - 全状态反馈控制率
    - 首先, 假定所有的状态变量都可以测量.
  - 状态观测器
    - 针对不是所有状态变量都可以测量这一问题, 通过研究现有的变量, 去估计那些无法直接测量的状态变量. 于是需要状态观测器.
      - 全状态观测器与降维观测器.
  - 校正器
    - 将全状态观测器和全状态反馈控制结合起来, 得到状态变量控制器, 通常也称为校正器.
- 能控性和能观性
  - 只有当系统完全能控能观时, 才能在s平面上任意配置系统的所有极点.