【10】利用泰勒公式推算一类数列极限
问题：设\(\displaystyle f\left( 0 \right) =0\)，\(\displaystyle f\'\'\left( 0 \right)\)存在，常数\(\displaystyle m>0\)，求证：
\[\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n{f\left( \frac{i^m}{n^{m+1}} \right)}=\frac{1}{m+1}f\'\left( 0 \right)
\]
过程如下：根据带\(\text{Peano}\)余项的\(\text{Taylor}\)公式，我们有
\[\begin{align*}
f\left( x \right) &=f\left( 0 \right) +f\'\left( 0 \right) x+\frac{f\'\'\left( 0 \right)}{2!}x^2+o\left( x^2 \right)
\\
&=f\'\left( 0 \right) x+\frac{f\'\'\left( 0 \right)}{2}x^2+o\left( x^2 \right)
\end{align*}
\]
因此
\[\begin{align*}
f\left( \frac{i^m}{n^{m+1}} \right) &=f\'\left( 0 \right) \cdot \frac{i^m}{n^{m+1}}+\frac{f\'\'\left( 0 \right)}{2}\cdot \left( \frac{i^m}{n^{m+1}} \right) ^2+o\left( \left( \frac{i^m}{n^{m+1}} \right) ^2 \right)
\\
&=f\'\left( 0 \right) \cdot \frac{i^m}{n^{m+1}}+\frac{f\'\'\left( 0 \right)}{2}\cdot \frac{i^{2m}}{n^{2m+2}}+o\left( \frac{1}{n^2} \right)
\end{align*}
\]
所以有
\[\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n{f\left( \frac{i^m}{n^{m+1}} \right)}=\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n{\left[ f\'\left( 0 \right) \cdot \frac{i^m}{n^{m+1}}+\frac{f\'\'\left( 0 \right)}{2}\cdot \frac{i^{2m}}{n^{2m+2}}+o\left( \frac{1}{n^2} \right) \right]}
\]
由于
\[\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n{f\'\left( 0 \right) \cdot \frac{i^m}{n^{m+1}}}=f\'\left( 0 \right) \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{\left( \frac{i}{n} \right) ^m}=f\'\left( 0 \right) \cdot \int_0^1{x^m\text{d}x}=\frac{1}{m+1}f\'\left( 0 \right)
\\
\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n{\frac{f\'\'\left( 0 \right)}{2}\cdot \frac{i^{2m}}{n^{2m+2}}}=\frac{f\'\'\left( 0 \right)}{2}\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{\left( \frac{i}{n} \right) ^{2m}}=\frac{f\'\'\left( 0 \right)}{2}\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\int_0^1{x^{2m}\text{d}x}=0
\\
\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n{o\left( \frac{1}{n^2} \right)}=\lim_{n\rightarrow \infty} n\cdot o\left( \frac{1}{n^2} \right) =0
\end{equation*}
\]
因此
\[\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n{f\left( \frac{i^m}{n^{m+1}} \right)}=\frac{1}{m+1}f\'\left( 0 \right) +0+0=\frac{1}{m+1}f\'\left( 0 \right)
\]
故原命题成立。
借助此结论或方法，我们可以计算以下极限：
\[\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n{\left( \sqrt{1+\frac{k}{n^2}}-1 \right)} \\ \lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n{\sin \frac{k^2}{n^3}}\]这提醒我们，在计算一些求和形式但不好使用定积分定义的数列极限，可以尝试使用\(\text{Taylor}\)公式进行计算。