前言
框架梳理
使用以下的问题线索，目的是将三角函数的基础知识穿线结网，便于我们的学习。
1、为什么要扩展角的范围？
初中我们对角的认知范围是\([0^{\circ}，360^{\circ}]\)，随着对实际生活和自然世界的认知逐步深入，越来越需要扩展角的范围。比如拧螺丝、拧牙膏盖；
2、怎么扩展角的范围？
首先应该改变角的定义方式，静态的\(\Longrightarrow\)动态的；
初中的静态的角的定义：由有公共端点的两条射线形成的图形就称为角。
高中的动态的角的定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。旋转时自然会涉及到方向和大小。
由旋转方向的不同自然形成正角，负角，零角；由旋转大小就会将角的范围扩展到\((-\infty，+\infty)\)。
3、与\(\theta\)角的终边相同的角的集合的表达形式
应用：借助这个表达，来刻画象限角和象限界角，
①当角的终边旋转时，自然会出现与\(\theta\)角的终边相同的情形，这样自然就表达了轴线角；
由于与\(30^{\circ}\)或\(-330{\circ}\)或者\(690^{\circ}\)角的终边相同的角的集合【角的终边落在射线上】：
\(\{\beta\mid \beta=k\cdot 360^{\circ}+30^{\circ}\}(k\in Z)\)。
依照这样的做法，很容易得到以下结论：
[终边落在\(x\)轴的正半轴上]：\(\alpha=2k\pi+0(k\in Z)\)，也称轴线角或象限界角。
[终边落在\(x\)轴的负半轴上]：\(\alpha=2k\pi+\pi(k\in Z)\)，也称轴线角或象限界角。
[终边落在\(y\)轴的正半轴上]：\(\alpha=2k\pi+\cfrac{\pi}{2}(k\in Z)\)，也称轴线角或象限界角。
[终边落在\(y\)轴的负半轴上]：\(\alpha=2k\pi+\frac{3\pi}{2}(k\in Z)\)当然也可以用\(\alpha=2k\pi-\cfrac{\pi}{2}(k\in Z)\)来表达；其中后边所跟的那个角，如\(-\cfrac{\pi}{2}\)等等，为了便于表述，我们不妨称之为基准角；\(\quad\)，也称轴线角或象限界角。
以及以下的相关结论：
分析：角\(\alpha\)的基准角为\(\alpha\'\)，角\(\beta\)的基准角为\(\beta\'\)，则\(\alpha\'+\beta\'=0\)，
又由于\(\alpha=2k_1\cdot 180^{\circ}+\alpha\'，k\in Z\)；\(\beta=2k_2\cdot 180^{\circ}+\beta\'，k\in Z\)；
故\(\alpha+\beta=2(k_1+k_2)\cdot 180^{\circ}+\alpha\'+\beta\'=2k\cdot 180^{\circ}，k\in Z\)
[常识，需要记忆]若角\(\alpha\)与\(\beta\)的终边关于\(y\)轴对称，则\(\alpha+\beta=(2k+1)\cdot 180^{\circ}，k\in Z\)；
分析：角\(\alpha\)的基准角为\(\alpha\'\)，角\(\beta\)的基准角为\(\beta\'\)，则\(\alpha\'+\beta\'=180^{\circ}\)，
又由于\(\alpha=2k_1\cdot 180^{\circ}+\alpha\'，k\in Z\)；\(\beta=2k_2\cdot 180^{\circ}+\beta\'，k\in Z\)；
故\(\alpha+\beta=2(k_1+k_2)\cdot 180^{\circ}+\alpha\'+\beta\'=(2k+1)\cdot 180^{\circ}，k\in Z\)
②当角的终边旋转时，自然会出现终边落在与\(\theta\)角的终边所在的直线的情形，
那么【角的终边落在直线上】：
[终边落在\(x\)轴上]：\(\alpha=k\pi+0(k\in Z)\)
[终边落在\(y\)轴上]：\(\alpha=k\pi+\cfrac{\pi}{2}(k\in Z)\)
[终边落在直线\(y=x\)上]：\(\alpha=k\pi+\cfrac{\pi}{4}(k\in Z)\)
[终边落在直线\(y=-x\)上]：\(\alpha=k\pi+\cfrac{3\pi}{4}(k\in Z)\)
③当角的终边落在某个范围内时，如何表达【扇形】：
[第Ⅰ象限角]：\(2k\pi+0<\theta<2k\pi+\cfrac{\pi}{2}(k\in Z)\)；
[第Ⅱ象限角]：\(2k\pi+\cfrac{\pi}{2}<\theta<2k\pi+\pi(k\in Z)\)；
[第Ⅲ象限角]：\(2k\pi+\pi<\theta<2k\pi+\cfrac{3\pi}{2}(k\in Z)\)；
[第Ⅳ象限角]：\(2k\pi+\cfrac{3\pi}{2}<\theta<2k\pi+2\pi(k\in Z)\)；
④当角的终边落在某个对顶范围内时，如何表达【对顶扇形】：
[第Ⅰ象限后半段和第Ⅲ象限后半段]：\(k\pi+\cfrac{\pi}{4}<\theta<k\pi+\cfrac{\pi}{2}(k\in Z)\)；
4、为什么引入弧度制？
为了表达的需要和后续三角函数的自变量的刻画方便，\(x\in R\)
\(sin[60^{\circ}]\xlongequal[一一对应]{角度角与弧度角}sin[\cfrac{\pi}{3}]\xlongequal[一一对应]{弧度角与实数}sin[1.0471975]\)
这样，我们就能很容易理解\(cos(sin\theta)>0\)了，原因是：\(\theta\in R\)，则\(sin\theta\in [-1，1]\)，其实在\(x\in (-\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{\pi}{2})\)内，都有\(cosx>0\)，故\(cos(sin\theta)>0\)。
5、角度制与弧度制
\(1^{\circ}\)的角：周角的 \(\cfrac{1}{360}\) 的角的大小为 \(1^{\circ}\) 的角。
\(1\)弧度的角：在单位圆中，单位长度的弧所对的圆心角为 \(1\) 弧度的角，用符号 \(rad\) 表示；
角\(\theta\)的弧度数：\(|\theta|=\cfrac{l}{r}\) \(\quad\) 说明： \(l\)为弧长， \(r\)为半径；
角度与弧度的互化：由于\(\pi\;\; rad=180^{\circ}\)，
两边同除以\(\pi\)，得到\(1\;\;rad=(\cfrac{180}{\pi})^{\circ}\approx 57.30^{\circ}=57^{\circ}18\'\)；
两边同除以\(180\)，得到\(1^{\circ}=\cfrac{\pi}{180}\;\; rad\)；
6、三角函数的定义的变化
初中：直角三角形中，用边的比值定义，比如\(sin\alpha=\cfrac{对边}{斜边}\)等；
高中：由于角的范围的变化，不能这样定义，得引入新的定义方式；
但是她还得能包含原来的定义，不能和原来的定义发生冲突。
我们是用终边上任意一点\(P\)（不能是坐标原点）的坐标\(P(x,y)\)与\(|OP|=r\)的比值定义。
这一点\(P\)可以是角的终边与单位圆的交点，也可以不是。
具体定义如下：\(\sin\theta=\cfrac{y}{r}\)，\(\cos\theta=\cfrac{x}{r}\)，\(\tan\theta=\cfrac{y}{x}\)。
引例：若角\(\theta\)的终边过点\(P(-4a，3a)(a\neq 0)\)，求\(sin\theta\)，\(cos\theta\)，\(tan\theta\)；
分析：由于角\(\theta\)的终边过点\(P(-4a，3a)(a\neq 0)\)，则\(x=-4a\)，\(y=3a\)，\(r=5|a|\)；
当\(a>0\)时，\(r=5a\)，\(sin\theta=\cfrac{3a}{5a}=\cfrac{3}{5}\)，\(cos\theta=-\cfrac{4}{5}\)，\(tan\theta=-\cfrac{3}{4}\)；
当\(a<0\)时，\(r=-5a\)，\(sin\theta=\cfrac{3a}{-5a}=-\cfrac{3}{5}\)，\(cos\theta=\cfrac{4}{5}\)，\(tan\theta=-\cfrac{3}{4}\)；
7、单位圆中的扇形对应到数轴上，\([2k\pi，2k\pi+\cfrac{\pi}{2}](k\in Z)\)
- 化简\(\cfrac{sin(k\pi+\alpha)\cdot cos(2k\pi+\alpha)}{sin(2k\pi+\alpha)\cdot cos(k\pi-\alpha)}(k\in Z)\)；
分析：碰到\(k\pi+\alpha\)的形式，则角的终边在两个象限内，故需要分类讨论：
当\(k=2n(n\in N)\)时，原式=\(\cfrac{sin\alpha\cdot cos\alpha}{sin\alpha\cdot cos\alpha}=1\)
当\(k=2n+1(n\in N)\)时，原式=\(\cfrac{sin(\pi+\alpha)\cdot cos\alpha}{sin\alpha\cdot cos(\pi-\alpha)}=\cfrac{-sin\alpha\cdot cos\alpha}{sin\alpha\cdot(- cos\alpha)}=1\)
典例剖析
分析：\(\beta\)是钝角且\(cos\beta=-\cfrac{\sqrt{5}}{5}=-\cfrac{1}{\sqrt{5}}=\cfrac{x}{r}\)，结合三角函数的定义可知\(\beta\)的终边上某点的坐标为\((-1，2)\)，\(r=\sqrt{5}\)，则\(sin\beta=\cfrac{2}{\sqrt{5}}\)；
锐角\(\alpha\)终边上的一点\(A(1，3)\)，则\(r=\sqrt{10}\)，\(sin\alpha=\cfrac{3}{\sqrt{10}}\)，\(cos\alpha=\cfrac{1}{\sqrt{10}}\)，
由于\(sin(\alpha-\beta)=sin\alpha cos\beta-cos\alpha sin\beta=\cdots=-\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)，
又\(cos\beta=-\cfrac{1}{\sqrt{5}}>-\cfrac{\sqrt{2}}{2}=cos\cfrac{3\pi}{4}\)，可以将范围压缩为\(\beta\in (\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{3\pi}{4})\)，
又\(sin\alpha=\cfrac{3}{\sqrt{10}}>\cfrac{\sqrt{2}}{2}=sin\cfrac{\pi}{4}\)，可以将范围压缩为\(\alpha\in (\cfrac{\pi}{4}，\cfrac{\pi}{2})\)，
故由不等式性质得到\(\alpha-\beta\in (-\cfrac{\pi}{2}，0)\)，故\(\alpha-\beta=-\cfrac{\pi}{4}\)。
有时间补充，诱导公式的推导证明和记忆方法整理。
分析：自行做出示意图，由选项可知，可以将角的终边放置在第一象限，这样\(b>a\)，
从而所求\(|a-b|=\cfrac{|a-b|}{1}=\cfrac{b-a}{1}=tan\alpha\)，
到此题目转化为已知\(cos2\alpha=\cfrac{2}{3}\)，求\(tan\alpha\)的值，
即已知\(cos2\alpha=\cfrac{cos^2\alpha-sin^2\alpha}{cos^2\alpha+sin^2\alpha}=\cfrac{1-tan^2\alpha}{1+tan^2\alpha}=\cfrac{2}{3}\)，
从而解得\(tan^2\alpha=\cfrac{1}{5}\)，则\(tan\alpha=\cfrac{\sqrt{5}}{5}\)，故选\(B\)。
详解: 设 \(\angle BOQ=\alpha\)， 根据题意得，\(\angle AOP=2\alpha\)， 且 \(\alpha \in[0, \pi]\)，
依题意得 \(Q(\cos\alpha,\sin\alpha)\)， \(P(-\cos2\alpha，-\sin2\alpha)\)点\(P\)对应的角为\(\pi+2\alpha\)，故其坐标为\(P(\cos(\pi+2\alpha)\)\(，\)\(\sin(\pi+2\alpha))\)，也即为\(P(-\cos2\alpha\)\(，\)\(-\sin2\alpha)\)\(\quad\)，
则\(\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AQ}=(-\cos2\alpha+1,-\sin2\alpha)\cdot(\cos\alpha+1, \sin\alpha)=(-\cos2 \alpha+1)(\cos\alpha+1)-\sin2\alpha\sin\alpha\)
\(=2\sin^{2}\alpha\leq 2\)， 当且仅当 \(\alpha=\cfrac{\pi}{2}\) 时，等号成立.
故\(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AQ}\)的最大值是\(2\).
①第二象限角大于第一象限角；
分析：假命题，\(\alpha=-\cfrac{4}{3}\pi\)，则 \(\alpha\) 为第二象限角， \(\beta=\cfrac{\pi}{3}\)，则 \(\beta\) 为第一象限角，此时 \(\alpha<\beta\)，故错误，为假命题；
②三角形内角是第一象限角或第二象限角；
分析：当三角形的一个内角为直角时，不属于象限角，故错误，为假命题；
③不论用角度制还是用弘度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关；
分析： 由弧度角的定义可知，其大小与扇形半径无关，与弧长与半径的比值有关，故正确，为真命题；
④若 \(\sin \alpha=\sin \beta\)， 则 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 的终边相同；
分析：\(\alpha=\cfrac{\pi}{3}\)，\(\beta=\cfrac{2\pi}{3}\)， 此时 \(\sin \alpha=\sin \beta\)， 但 \(\alpha\)，\(\beta\) 终边不同，故错误，为假命题；
⑤若 \(\cos \theta<0\)， 则 \(\theta\) 是第二或第三象限的角.
分析： 当 \(\theta=\pi\) 时， \(\cos\theta=-1<0\)， 此时 \(\theta\) 不属于象限角，故错误，为假命题.
解析：由下图中的三角函数线，可知选\(C\).