CSP2019 考前复习

动态规划

【NOIP2016】愤怒的小鸟（状压+思维）

多组数据题

共有i只猪，给出每只猪的坐标，鸟的飞行轨迹为经过原点的抛物线，求最少要多少只鸟能消灭所有的猪
\[ 猪数量n<=18 \]

看到$n<=18$，就可以自然的想到状压或者爆搜，因为无后效性，考虑状压

想到设状态$S$为已消灭的猪的集合，有$dp[s]$为当前状态下需要的最少鸟数

再设$line[i][j]$为经过第i，第j头猪的抛物线能消灭的猪的集合

合理性：对于当前集合，我们总能有两个转移：

1、用一个新的抛物线来消灭第$i$位的猪（抛物线指定一个点）

2、在当前集合的基础上新增一条抛物线来消灭够着第$i$个与第$j$个猪（抛物线指定两个点，两点确立一个抛物线（经过原点）），所以，我们可以求出这条抛物线能消灭的所有的猪，然后由$S$向这个状态转移

易得:
\[ dp[S|1<<(i-1)]=min(dp[S|1<<(i-1)],dp[S]+1); \]

\[ dp[S\ |\ line[i][j]\ ]=min(dp[S\ |\ line[i][j]]\ ,dp[S]+1); \]

然后预处理$line[i][j]$即可

有两个优化：

1、对于S集合内已消灭的点，不用进行转移（可通过其他点进行转移）

2、对于S集合的拓展，S必经点有$ S&(1<<(x−1))=0 $的$x_\min$ 相当于单调性?，这次不打他以后一定会打到他，如果这次打了他就是多余运算

#include<bits/stdc++.h>
#define re register
#define ll long long
#define puts puts("")
#define File(x) freopen(x".in","r",stdin); freopen(x".out","w",stdout)
using namespace std;
inline int read(){
    int k=1,sum=0;char c=getchar();
    for(;c<'0' || c>'9';c=getchar()) if(c=='-') k=-1;
    for(;c>='0' && c<='9';c=getchar()) sum=sum*10+c-48;
    return sum*k;
}
inline ll LLread(){
    int k=1;ll sum=0;char c=getchar();
    for(;c<'0' || c>'9';c=getchar()) if(c=='-') k=-1;
    for(;c>='0' && c<='9';c=getchar()) sum=sum*10+c-48;
    return sum*k;
}
int T;
const int N=20;
const double eps=1e-6;
double x[N],y[N];
int line[N][N];
int hav[1<<20],dp[1<<20];
int n;
inline void Solve(double &x,double &y,double xii,double xi,double yi,double xjj,double xj,double yj){
    y=(xii*yj-xjj*yi)/(xii*xj-xjj*xi);
    x=(yi-xi*y)/xii;
}
inline int lowbit(int x){
    return log(x&(-x))/log(2)+1;
}
int main(){
    //File("testdata");
    for(re int i=0;i<(1<<20);++i){
        hav[i]=lowbit(~i);
    }
    T=read();
    while(T--){
        n=read();read();
        memset(line,0, sizeof(line) );
        memset(dp,0x3f, sizeof(dp) );
        for(re int i=1;i<=n;++i){
            scanf("%lf%lf",&x[i],&y[i]);
        }
        for(re int i=1;i<=n;++i){
            for(re int j=i+1;j<=n;++j){
                if(fabs(x[i]-x[j])<eps) continue;
                double a,b;
                Solve(a,b,x[i]*x[i],x[i],y[i],x[j]*x[j],x[j],y[j]);
                if(a>-eps) continue;
                for(re int k=1;k<=n;++k)
                    if(fabs(a*x[k]*x[k]+b*x[k]-y[k])<eps) line[i][j]|=(1<<(k-1)),line[j][i]=line[i][j];
            }
        }
        dp[0]=0;
        for(re int s=0;s<(1<<n);++s){
            int p=hav[s];
            dp[s|(1<<(p-1))]=min(dp[s]+1,dp[s|(1<<(p-1))]);
            for(re int i=1;i<=n;++i){
                dp[s|line[p][i]]=min(dp[s]+1,dp[s|line[p][i]]);
            }
        }
        cout<<dp[(1<<n)-1];puts;
    }
    return 0;
}

贪心

【NOIP2016】蚯蚓（贪心+优先队列+单调队列）

(转自洛谷题解)

关键点: 发现此题中隐含的单调性.

　　发现先被切掉的蚯蚓分成的蚯蚓一定比后切掉的蚯蚓分成的蚯蚓大. 　假设这两只蚯蚓分别为 $a,b$ ,其中 $a>b$ .那么它被切成 $a_1,a_2$ .　t秒后, $b$ 被切成了 $b_1,b_2$ .此时 $a_1,a_2$ 的长度为 $l_{a_1}+t=pl_{a}+t,l_{a_2}+t=(1-p)l_a+t$ .而 $b_1,b_2$ 的长度却为 $p(l_b+t),(1-p)(1_b+t)$ , 容易看出 $l_{a_1}\>l_{b_1},l_{a_2}\>l_{b_2}$ .也就是说根本不需要用一个堆来维护, 它本来就具有一定单调性.

　　那么就是说如果蚯蚓 $a_1,a_2,\cdots,$ 满足 $a_1\>a_2\>\cdots$ ,那么以此分成两只 $a_{11},a_{12},a_{21},a_{22},\cdots $ .那么 \[a_{12}\>a_{22}\>\cdots,a_{11}\>a_{21}\>\cdots\]

　　那么就可以将这两堆依次存储, 加上还没被切过的蚯蚓.每次要切时在这三堆里面选择最大的, 切完再依次放回去. 　所以这么做时间复杂度为$\Theta (m)$.再优化一下细节基本上就没问题了.

　　*结论*: 善于发现题目中隐含的单调性.

　　Tip:有些细节需要仔细考虑不然会很惨

#pragma GCC optimize(3)
#include<bits/stdc++.h>
#define re register
#define line puts("")
#define ll long long
#define File(x) freopen(x".in","r",stdin); freopen("Debugs.out","w",stdout)
using namespace std;
inline int read(){
    int k=1,sum=0;
    char c=getchar();
    for(;c<'0' || c>'9';c=getchar()) if(c=='-') k=-1;
    for(;c>='0' && c<='9';c=getchar()) sum=sum*10+c-48;
    return sum*k;
}
const int N=1e5+10,M=7e6+10;
priority_queue<int> Q;
int n,m,q,u,v,t;
double p;
int a[M];
int b[M],c[M],cut,cntb=0,cntc=0,tb=1,tc=1,ta=1;
inline bool cmp(int a,int b){
    return a>b; 
}
inline void Find(){
    if(ta>n) {
        if(b[tb]>c[tc]) cut=b[tb++];
        else cut=c[tc++];
    }
    else if(a[ta]>=b[tb] && a[ta]>=c[tc]) cut=a[ta++];
    else if(b[tb]>=a[ta] && b[tb]>=c[tc]) cut=b[tb++];
    else cut=c[tc++];
    return;
}
int main(){
    //File("testdata");
    n=read();m=read();q=read();u=read();v=read();t=read();
    p=(double)u/v;
    for(re int i=1;i<=n;++i) a[i]=read();
    sort(a+1,a+n+1,cmp);
    int sigma=0;
    for(re int i=1;i<=m;++i) {
        Find();
        cut+=sigma;
        int a1=cut*1.0*p,a2=cut-a1;
        //int a11=floor(p*(double)cut),a22=cut-a11;
        //cout<<"ASD"<<a1<<" "<<a11<<" "<<a2<<" "<<a22<<"ASD"<<endl;
        sigma+=q;
        a1-=sigma;a2-=sigma;
        b[++cntb]=a1,c[++cntc]=a2;
        if(i%t==0)  cout<<cut<<" ";
    }
    line;
    for(re int i=ta;i<=n;++i) Q.push(a[i]);
    for(re int i=tb;i<=cntb;++i) Q.push(b[i]);
    for(re int i=tc;i<=cntc;++i) Q.push(c[i]);
    for(re int i=1;!Q.empty();++i) {
        if(i%t==0) cout<<Q.top()+sigma<<" ";
        Q.pop();    
    }
    return 0;
}
/*
3 7 1 1 3 1
3 3 2
*/