只不过个人怕忘记罢了... 不是学习教程...
积性函数
定义
如果一个数论函数\(f(n)\)满足
\[f(pq)=f(p)f(q),\gcd(p,q)=1
\]
则称\(f(n)\)是一个积性函数。
常见例子
\[e(n)=[n=1]\\
1(n)=1\\
\mu(n)=\begin{cases}(-1)^k&n=p_1p_2p_3\dots p_k\\0&n=p^2q\end{cases}\\
d(n)=\sum_{i \mid n}1\\
id(n)=n\\
\sigma(n)=\sum_{d|n}d
\]
狄利克雷卷积
定义
\[f*g(n)=\sum_{d \mid n}f(d)g(\frac nd)
\]
性质
交换律与结合律。
具体地：
\[f*g(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac nd)=\sum_{d|n}g(d)f(\frac nd)=g*f(n)\\
f*g*h(n)=\sum_{d|n}f(d)\sum_{t \mid \frac nd}g(t)h(\frac n{dt})=\sum_{d_1d_2d_3=n}f(d_1)g(d_2)h(d_3)=f*(g*h)(n)
\]
常见积性函数卷积
\[\forall f(n),e*f(n)=f(n)\\
1*1(n)=\sum_{d|n}1=d(n)\\
id*1(n)=\sum_{d|n}d=\sigma(n)\\
\mu*1(n)=\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]=e(n)\\
\varphi*1(n)=\sum_{d|n}\varphi(d)=n=id(n)
\]
大一统：
\[\mu\xrightarrow{*1}\varepsilon\xrightarrow{*1}1\xrightarrow{*1}d\\
\varphi\xrightarrow{*1}id\xrightarrow{*1}\sigma
\]
\[\mu\xleftarrow{*\mu}\varepsilon\xleftarrow{*\mu}1\xleftarrow{*\mu}d\\
\varphi\xleftarrow{*\mu}id\xleftarrow{*\mu}\sigma
\]
莫比乌斯反演
很常用的公式：
\[[n=1]=\sum \limits_{d \mid n} \mu(d)
\]
当然，其本质就是\(1 * \mu(n)=\varepsilon(n)\)。
咳咳，下面才是正题：
如果存在 \(F(n)\) 和 \(f(n)\) 是定义在非负整数集合上的两个函数，并且满足条件：
\[F(n)=\sum_{d|n}f(d)
\]
则：
\[f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)
\]
其本质就是\(F=f * 1 \iff f=F * \mu\) 。
另外一种形式，当 \(F(n)\) 和 \(f(n)\) 满足：
\[F(n)=\sum_{n \mid d}f(d)
\]
则：
\[f(n)=\sum_{n \mid d}\mu(\frac{d}{n})F(d)
\]
莫比乌斯函数与欧拉函数的关系：
\[\varphi(n) = \sum_{d|n} \mu(d) \frac{n}{d},\frac {\varphi(n)} n = \sum_{d|n} \frac{\mu(d)}{d}
\]