数学吧 的 一题 《实在想不出来了》
今天（2021-11-01）晚上看到 数学吧 的 一题 《实在想不出来了》 https://tieba.baidu.com/p/7596415471
大概知道怎么做了， 但是 lim xn , n -> 无穷 的 地方 还要想一下， 题目 似乎 有点问题， 应该要求 f (x) 在 [ 0, 1 ] 上 要么 大于 1， 要么 小于 1 ， 如果 f (x) 在 [ 0, 1 ] 上 有 小于 1 也有 大于 1， 那 lim xn , n -> 无穷 似乎不存在，就是说 n -> 无穷 时， xn 并不收敛， 而是 受 无穷 支配 而 不能确定 值 。
@思维机器 可以看看
@已封12138
本文已发到了 反相吧 《数学吧 的 一题 《实在想不出来了》》 https://tieba.baidu.com/p/7597152622 。
2 楼
思维机器 ： 收到
3 楼
思维机器 ： 用中值定理证明
K歌之王: 我在 《实在想不出来了》 的 回复 里 看到 好几次 “积分中值定理”， 以前也看到过， 但 我 不知道 积分中值定理 是 什么 ， 我在下面 发 我的 做法 。
思维机器: 回复 K歌之王 :积分中值定理有个公式，大概意思就是函数区间的积分等于区间某点的函数值乘以区间长度，这很直观的。还有微分形式的，就是拉格朗日中值定理
K歌之王 :回复 散步的鱼 :这么一说 就 明白了， 这个 积分中值 类似 交流电 的 有效值，在 物理 里 应该会 经常 见到 等效均值点 的 场景 。 刚也看了一下 拉格朗日中值定理 。
散步的鱼: 回复 K歌之王 :最近忙啊，没精力深搞
4 楼
K歌之王 ：
因为 f ( x ) 在 [ 0, 1 ] 非负单增， 所以， [ f ( x ) ]^n 在 [ 0, 1 ] 上 的 定积分 就可以 妥妥的 表示 为 [ f ( x ) ]^n 和 x 轴 在 [ 0, 1 ] 上 围成的 曲边形面积 。
将 [ f ( x ) ]^n 在 [ 0, x ] 上 的 定积分 记为 F ( x )， 可知 F ( 0 ) = 0 ， 当 0 < x <= 1 时， F ( x ) > 0 ， F ( x ) 在 [ 0, 1 ] 上 也是 单增 的 。
要 证明 题目（存在 唯一 的 xn）， 只要 证明 [ f ( 0 ) ]^n <= F ( 1 ) <= [ f ( 1 ) ]^n ，
要 怎么 证明 [ f ( 0 ) ]^n <= F ( 1 ) <= [ f ( 1 ) ]^n ？
比如， 直线 y = [ f ( 1 ) ]^n ， 直线 x = 1 和 x 轴 y 轴 围成的 长方形面积 是 大于 F ( 1 ) 的 ， 然后 …… 嘿嘿
5 楼
K歌之王 ：
回复 3 楼 @思维机器 “最近忙啊，没精力深搞” ，
大家加油， 哈哈 。
微分形式 的 中值定理， 也就是 拉格朗日中值定理 和 泰勒级数 颇有渊源， 或者说，泰勒级数 受到 中值定理 的 影响 和 思想上 的 启发 。
把 f ( x ) 在 [ a,b ] 上 的 增量 等价 为 一条 斜率 为 k 的 直线 在 [ a, b ] 上 的 增量， 以此 列一个 方程， 用 微分方程 的 方法 来 解 这个 方程， 得到的就是 泰勒级数 。
这几天看知乎看到， 伽罗华 和 阿贝尔 解决 一元五次以上方程 没有 代数解 的 问题 前， 拉格朗日 （还是 拉普拉斯 ？ 分不清 这两位） 就 觉得 五次以上方程 的 根 可能 不能用 根式 表达 。
而 傅里叶级数 出现 前， 数学家们 （拉格朗日 ？ 拉普拉斯 ？） 也 隐约觉得 周期函数 可以 表示 为 正弦级数 。 而 傅里叶 凭 直觉 就 说 周期函数 可以 表示 为 正弦级数 。
看来 大师 们 的 杰作 也是 在 之前 的 大师 和 之前的之前的 大师的大师 那里 受到 启示 积累 一点一点 发展 来 的 。
6 楼
K歌之王 ：
5 楼 说到的 知乎 《能说说你们心目中的数学大咖(数学家or教授都行)，并且能介绍几个有关他(她)们与数学的故事吗？》 https://www.zhihu.com/question/372642069/answer/1022511118