微积分
导数和微分是微分学的两个重要的概念
导数
在学习导数之前，我们需要掌握极限这个东西，介于本蒟蒻水平有限，下次再讲~~
一实例：
1：瞬时速度
\[v_0=\lim_{\Delta t \to 0}v_{\Delta t}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac {\Delta S}{\Delta t}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac {f(t_0+{\Delta t})}{\Delta t}
\]
2:切线斜率
\[k=\lim_{\Delta t \to 0}\frac {\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac {f(x_0+\Delta x-f(x_0))}{\Delta x}
\]
二导数概念：
\(设函数y=f(x)在U(x_0)有定义，在x_0自变量x的改变量是\Delta x,相应函数的改变量是\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0).若极限\)
\[\lim_{\Delta t \to 0}\frac {\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac {f(x_0+\Delta x-f(x_0))}{\Delta x} ------------------------(3)
\]
\(存在（有限数），称函数f(x)在x_0可导（或存在导数），此极限称为函数f(x)在x_0的导数（或微商），记为f\'(x)或\frac {\mathrm dy}{\mathrm dy} | _{x=x_0},即\)
\[f\'(x_0)=\lim_{\Delta t \to 0}\frac {f(x_0+\Delta x-f(x_0))}{\Delta x}
\]
或
\[\frac {\mathrm dy}{\mathrm dy} | _{x=x_0}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac {f(x_0+\Delta x-f(x_0))}{\Delta x}
\]
若极限（3）不存在，称函数\(f(x)\)在\(x_0\)不可导
在(3)式中，如果自变量\(\Delta x\)只从大于0的方向或只从小于0的方向趋近0，有：
定义
若极限：
\[\lim_{\Delta t \to 0^+}\frac {\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0^+}\frac {f(x_0+\Delta x-f(x_0))}{\Delta x}
\]
与：
\[\lim_{\Delta t \to 0^-}\frac {\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0^-}\frac {f(x_0+\Delta x-f(x_0))}{\Delta x}
\]
都存在（有限数），则分别称为函数\(f(x)\)在\(x_0\)右可导与左可导，其极限分别称为函数\(f(x)\)在\(x_0\)的右导数与左导数，分别记为\(f\'_+(x_0)\)与\(f\'_-(x_0)\),即：
\[f\'_+(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0^+}\frac {f(x_0+\Delta x-f(x_0))}{\Delta x}
\]
与
\[f\'_-(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0^-}\frac {f(x_0+\Delta x-f(x_0))}{\Delta x}
\]
同时根据极限的知识可知：
\(函数f(x)在x_0可导\iff 函数f(x)在x_0的左右导数都存在，且相等，f\'_+(x_0)=f\'_-(x_0)\)
定理1：
\(若函数y=f(x)在x_0可导，则函数y=f(x)在x_0连续\)
注：该定理的逆命题不成立，则函数在一点连续，函数在该点不一定可导
例如：
\(函数f(x)=|x|在x=0连续，但它在x=0不可导\)
定义：
\(若函数f(x)在区间I的每一个点都可导，（若区间I的左（右）端点属于I，函数f(x)在左（右）端点右可导（左可导））则函数f(x)在区间I可导\)
若函数\(f(x)在区间\)\(I\)可导，则\(\forall x\in I\)都存在（对应）唯一一个导数\(f\'(x)\)在区间\(I\)的导函数，也简称导数，记为
\[f\'(x), y\'或\frac {\mathrm d y}{\mathrm d x}
\]
三例
根据导数定义，求函数\(f(x)\)在点\(x\)的导数，步骤：
一：在点\(x\)给自变量改变量\(\Delta x\),并计算\(x+\Delta x\)的函数值\(f(x+\Delta x)\)
二：计算函数改变量\(\Delta y\),即\(\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)\)
三：作比\(\frac {\Delta y}{\Delta x}\)
四：求极限\(\lim _{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f\'(x)\)
常见函数的导函数：
\[f(x)=C \iff 导数是0
\]
\[f(x)=x^n \iff (x^n)\'=nx^{n-1}
\]
\[f(x)=\sqrt x\iff (\sqrt x)\'=\frac {1}{2\sqrt x}
\]
\[f(x)=\sin x\iff(\sin x)\'=\cos x
\]
\[(\cos x)\'=-\sin x
\]
例：
求函数\(f(x)=\log _ax\)的导数
\(\huge 注意：e的定义：e=\lim \limits_{n\to\infty}(1+\frac {1}{n})^n\)
\(\forall x>0,有f(x+\Delta x)=\log _a (x+\Delta x)\)
\(\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=\log _a(x+\Delta x)-\log _a x=\log_a (1+\frac {\Delta x}{x})\)
\(\frac {\Delta y}{\Delta x}=\frac {1}{\Delta x}\log _a(1+\frac{\Delta x}{x})=\frac {1}{x}\frac {x}{\Delta x}\log _a(1+\frac{\Delta x}{x})=\frac {1}{x}log_a(1+\frac{\Delta x}{x})^{\frac {x}{\Delta x}}\)
有
\[\lim _{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x\to0}\frac {1}{x}\log _a(1+\frac{\Delta x}{x})^{\frac {x}{\Delta x}}=\frac {1}{x}log _a [\lim_{\Delta x\to 0}(1+\frac{\Delta x}{x})^{\frac{x}{\Delta x}}]=\frac {1}{x}\log _a e=\frac {1}{x\ln a}
\]
即对数函数\(\log_ax\)在定义域\((0,+\infty)\)任意\(x\)都可导，于是它在\((0,+\infty)\)可导，并且
\[(log_ax)\'=\frac{1}{x\ln a}
\]
特别是，自然对数函数\(a=e\)
\[(\ln x)\'=\frac {1}{x\ln e}=\frac {1}{x}
\]
求有些函数\(f(x)\)在特定点\(x_0\)的导数是需要用到定义：
\[f\'(x)=\lim_{x\to x_0}\frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
\]
例：
求函数
\[f(x)=\begin{cases} x^2\sin {\frac {1}{x}},x\ne0\\0,x=0\end{cases}
\]
在点0的导数：
\[f\'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{x}=\lim_{x\to0}x\sin\frac {1}{x}=0
\]
求导法则与导数公式
导数四则运算
定理1
若函数\(u(x)\)与\(v(x)\)在\(x\)可导，则函数\(u(x)\pm v(x)\)在\(x\)也可导，且：
\[[u(x)\pm v(x)]\'=u\'(x)\pm v\'(x)
\]
法则1
有限个函数的代数和的导数等于每个函数导数的代数和
同时亦可以扩展到求任意有限个函数和的导数
定理2
若函数\(u(x)\)与\(v(x)\)在\(x\)可导，则函数\(u(x)v(x)\)在\(x\)也可导，且：
\[[u(x)v(x)]\'=u(x)v\'(x)+v(x)u\'(x)
\]
证明：
\(设y=u(x)v(x)\),有
\[\begin{align*}
\Delta y&=u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)
\\&=u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x+\Delta x)v(x)+u(x+\Delta x)v(x)-u(x)v(x)
\\&=u(x+\Delta x)[v(x+\Delta x)-v(x)]+v(x)[u(x+\Delta x)-u(x)]
\\&=u(x+\Delta x)\Delta v+v(x)\Delta u
\end{align*}
\]
\[\frac {\Delta y}{\Delta x}=u(x+\Delta x)\frac{\Delta v}{\Delta x}+v(x)\frac{\Delta u}{\Delta x}
\]
已知函数\(u(x)\)与\(v(x)\)在\(x\)可导，即
\[\lim_{x\to0}\frac{\Delta u}{\Delta x}=u\'(x)与\lim_{x\to0}\frac{\Delta v}{\Delta x}=v\'(x)
\]
可知：
\[\begin{align*}
\lim_{x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}&=\lim_{x\to0}u(x+\Delta x)\lim_{x\to0}\frac{\Delta v}{\Delta x}+v(x)\lim_{x\to0}\frac{\Delta u}{\Delta x}
\\&=u(x)v\'(x)+v(x)u\'(x)
\end{align*}
\]
法则2
两个函数乘积的导数等于第一个函数乘以第二个函数的导数再加上第二个函数的导数再加上的二个函数乘以第一个函数的导数
也可以扩展到任意有限个函数乘积的导数，即：
若函数\(u_1(x),u_2(x),u_3(x)...u_n(x)\)在\(x\)都可导，则它们的乘积在\(x\)也可导，且：
\[[u_1(x)u_2(x)u_3(x)...u_n(x)]\'=u_1\'(x)u_2(x)u_3(x)...u_n(x)+
\\u_1(x)u_2\'(x)...u_n(x)+...+
\\u_1(x)u_2(x)...u_n\'(x)法则2\'
\]
\(n个函数乘积的导数等于n项和，其中每一项都是一个函数的导数乘其它n-1个函数的积（这样的项共有n项）\)
定理2的特殊情况
\(但v(x)=c\)是常数时：
\[[cu(x)\']=cu\'(x)+u(x)(c)\'=cu\'(x)
\]
法则2\'\'
常数与函数乘积的导数等于常数乘函数的导数，或说“常数因子可移到导数符号外边来”
定理3
\(若函数u(x)与v(x)在x可导，且v(x)\ne0,则函数\frac{u(x)}{v(x)}在x也可导，且\)
\[[\frac{u(x)}{v(x)}]\'=\frac{u\'(x)v(x)-u(x)v\'(x)}{[v(x)]^2}
\]
设\(y=\frac{u(x)}{v(x)}\),有
\[\begin{align*}
\Delta y&=\frac{u(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)}-\frac{u(x)}{v(x)}=\frac{u(x+\Delta x)v(x)-u(x)v(x+\Delta x)}{v(x)v(x+\Delta x)}
\\&=\frac{u(x+\Delta x)v(x)-u(x)v(x)+u(x)v(x)-u(x)v(x+\Delta x)}{v(x)v(x+\Delta x)}
\\&=\frac{[u(x+\Delta x)-u(x)]v(x)-u(x)[v(x+\Delta x)-v(x)]}{v(x)v(x+\Delta x)}
\\&=\frac{v(x)\Delta u-u(x)\Delta v}{v(x)v(x+\Delta x)}
\end{align*}
\]
\[\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\frac{\Delta u}{\Delta x}v(x)-u(x)\frac{\Delta v}{\Delta x}}{v(x)v(x+\Delta x)}
\]
即
\[\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta u}{\Delta x}v(x)-u(x)\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta v}{\Delta x}}{v(x)\lim\limits_{\Delta x\to0}v(x+\Delta x)}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{u\'(x)v(x)-u(x)v\'(x)}{[v(x)]^2}
\]
即函数\(\frac{u(x)}{v(x)}\)在\(x\)可导，且
\[[\frac{u(x)}{v(x)}]\'=\frac{u\'(x)v(x)-u(x)v\'(x)}{[v(x)]^2}
\]
法则3
两个函数商的导数等于两个函数的商，其分子是原来函数分子的导数乘乘分母减去分母的导数乘分子，其分母是原来函数分母的平方
定理三特殊情况
当\(u(x)=1\)时，有：
\[[\frac{1}{v(x)}]\'=-\frac{v\'(x)}{[v(x)]^2}
\]
由此可得：
\[(\tan x)\'=\frac{1}{\cos^2 x}=\sec^2x
\]
\[(\cot x)\'=-\frac{1}{\sin^2x}=-\csc^2x
\]
\[(\sec x)\'=(\frac{1}{\cos x})\'=\frac{\sin x}{\cos^2x}=\frac{\tan x}{\cos x}
\]
\[(\csc x)\'=(\frac{1}{\sin x})\'=-\frac{\cos x}{\sin^2x}
\]
反函数求导法则
定理4
若函数\(f(x)\)在\(x\)的某领域连续，并严格单调，函数\(y=f(x)\)在\(x\)可导，并且\(f\'(x)\ne0\),则它的反函数\(x=\varphi(y)\)在\(y(y=f(x))\)可导，且：
\[\varphi\'(y)=\frac{1}{f\'(x)}
\]
证明：
\(设反函数x=\varphi(y)在点y的自变量是\Delta y(\Delta y\ne0),有:\)
\[\Delta x=\varphi (y+\Delta y)-\varphi(y)
\\\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)
\]
\(已知函数y=f(x)在x的某邻域连续和严格单调，那反函数也如此，有\Delta y\to0\iff\Delta x\to0;\Delta y\ne0\iff\Delta x\ne0,于是：\)
\[\frac{\Delta x}{\Delta y}=\frac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}
\]
有：
\[\lim_{\Delta y\to0}\frac{\Delta x}{\Delta y}=\lim_{\Delta y\to0}\frac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{1}{f\'(x)}
\]
法则4
反函数的导数等于原函数导数的倒数
由此可知：
\[(\arcsin x)\'=\frac{1}{\pm\sqrt{1-x^2}}
\]
\[(\arccos x)\'=-\frac{1}{\pm\sqrt{1-x^2}}
\]
\[(\arctan x)\'=\frac{1}{1+x^2}
\]
\[(arccot x)\'=-\frac{1}{1+x^2}
\]
复合函数求导法则
定理5
若函数\(y=f(u)\)在\(u\)可导，函数\(u=g(x)\)在\(x\)可导，则复合函数\(y=f[g(x)]\)在\(x\)也可导，且：
\[\{f[g(x)]\}\'=f\'(u)g\'(x)
\]
法则5
复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘中间变量对自变量的导数
例：
求幂函数\(y=x^\alpha(\alpha 是实数)的导数\)
由题意得：\(\ln y=\alpha\ln x\),即：
\[y=e^{\alpha \ln x}(x>0)
\]
根据复合函数求导法则，有：
\[(x^{\alpha })\'=(e^{\alpha \ln x})\'=(e^u)\'(\alpha\ln x)\'=e^u\frac{\alpha}{x}=e^{\alpha \ln x}\frac{\alpha}{x}=\alpha x^{\alpha -1}
\]
微分
所以：
\[\mathrm dy=f\'(x){\rm d}x
\]
同时导数
\[f\'(x)=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy}
\]
不定积分
原函数
定义1
设函数\(f\)与\(F\)在区间\(I\)上都有定义，若
\[F\'(x)=f(x),x\in I
\]
则称\(F\)为 \(f\)在区间上的一个原函数
即：
\(F(x)\)的导数为\(f(x)\)
定理1
若函数\(f\)在区间\(I\)上连续，则\(f\)在\(I\)上存在原函数\(F\)，即\(F\'(x)=f(x),x\in I\)
定理2
设\(F\)是\(f\)在区间\(I\)上的一个原函数，则
\((i)\) \(F+C\)也是\(f\)在\(I\)上的原函数，其中\(C\)为任意常量函数;
\((ii)\)\(f\)在\(I\)上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数
也就是说，对于一个函数\(f\)，只要其存在原函数，就一定有无数多个
不定积分
定义
函数\(f(x)\)在区间\(I\)的所有原函数\(F(x)+C(\forall C\in R)\)称为函数\(f(x)\)的不定积分，表示为：
\[\int f(x)\mathrm dx=F(X)+c(F\'(x)=f(x))
\]
不定积分公式表
\[\begin{align*}
&1.\int a \mathrm dx=ax+C
\\&\int \mathrm dx=x+C
\\&2.\int x^\alpha\mathrm dx=\frac{1}{\alpha +1}x^{\alpha +1},\alpha 是常数，且\alpha \ne -1
\\&3.\int\frac{\mathrm dx}{x}=\ln|x|+C,x\ne0
\\&4.\int a^x\mathrm dx=\frac{1}{\ln a}a^x+C,其中a>，且a\ne 1
\\&\int e^x\mathrm dx=e^x+C
\\&5.\int \sin x\mathrm dx=-\cos x+C
\\&6.\int \cos x\mathrm dx=\sin x +C
\\&7.\int \frac{\mathrm dx}{\cos^2x}=\tan x+C
\\&8.\int \frac{\mathrm dx}{\sin^2x}=-\cot x +C
\\&9.\int \frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x +C=-\arccos x+C
\\&10.\int \frac{\mathrm dx}{1+x^2}=\arctan x+C=-arccot x +C
\end{align*}
\]
注意公式3，表示的是两个不定积分
分部积分与换元积分
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.
.
以后再补充