线性代数学习

矩阵行列式

矩阵行列式(determinant of a matrix)是指矩阵的全部元素构成的行列式，设A=(a_ij)是数域P上的一个n阶矩阵，则所有A=(a_ij)中的元素组成的行列式称为矩阵A的行列式，记为|A|或det(A)。若A，B是数域P上的两个n阶矩阵，k是P中的任一个数，则|AB|=|A||B|，|kA|=kn|A|，|A*|=|A|^n-1，其中A*是A的伴随矩阵；若A是可逆矩阵，则|A^-1|=|A|^-1。

 

一个n×n的方阵A的行列式记为det(A)或者|A|，一个2×2矩阵的行列式可表示如下：

把一个n阶行列式中的元素a_ij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素a_ij的余子式,记作M_ij。记A_ij=(-1)^i+jM_ij，叫做元素a_ij的代数余子式。例如：

一个n×n矩阵的行列式等于其任意行(或列)的元素与对应的代数余子式乘积之和，即 ^[1]  :

运算规则：

 

伴随矩阵

伴随矩阵定义：

 

结合例子：

伴随矩阵的妙用：

 

具体求伴随矩阵：

 

 

 

 

 逆矩阵

一、逆矩阵的定义和性质

 设A为n阶矩阵，若存在n阶矩阵B使得:AB=BA=E(单位矩阵)，则称A是可逆的且矩阵B是矩阵A的逆矩阵，如下：

 

矩阵A的逆矩阵的表示方法，如下：

 

逆矩阵和伴随矩阵的关系，如下：

 

 

二、逆矩阵的求解方法

由矩阵和伴随矩阵的关系我们可以得出以下推论：

 

逆矩阵的一般解题过程，如下：

简单例题，如下：

 

三、矩阵运算规律

对于可逆矩阵来说，有一些运算规律是我们需要牢记的，如下：

注意点：

 

 矩阵乘法

刚学的时候，还蛮简单的，矩阵加法就是相同位置的数字加一下。

 

矩阵减法也类似。

矩阵乘以一个常数，就是所有位置都乘以这个数。

但是，等到矩阵乘以矩阵的时候，一切就不一样了。

这个结果是怎么算出来的？

教科书告诉你，计算规则是，第一个矩阵第一行的每个数字（2和1），各自乘以第二个矩阵第一列对应位置的数字（1和1），然后将乘积相加（ 2 x 1 + 1 x 1），得到结果矩阵左上角的那个值3。

 矩阵的本质就是线性方程式，两者是一一对应关系。如果从线性方程式的角度，理解矩阵乘法就毫无难度。

下面是一组线性方程式。

矩阵的最初目的，只是为线性方程组提供一个简写形式。

老实说，从上面这种写法，已经能看出矩阵乘法的规则了：系数矩阵第一行的2和1，各自与 x 和 y 的乘积之和，等于3。不过，这不算严格的证明，只是线性方程式转为矩阵的书写规则。

下面才是严格的证明。有三组未知数 x、y 和 t，其中 x 和 y 的关系如下。

x 和 t 的关系如下。

有了这两组方程式，就可以求 y 和 t 的关系。从矩阵来看，很显然，只要把第二个矩阵代入第一个矩阵即可。

从方程式来看，也可以把第二个方程组代入第一个方程组。

上面的方程组可以整理成下面的形式。

最后那个矩阵等式，与前面的矩阵等式一对照，就会得到下面的关系。

矩阵乘法的计算规则，从而得到证明。

---

 

参考资料 ：

线性代数：如何求矩阵的逆矩阵 https://jingyan.baidu.com/article/925f8cb8a74919c0dde056e7.html

线性代数：矩阵运算之求伴随矩阵？https://jingyan.baidu.com/article/ce09321b927f2d2bff858f08.html

伴随矩阵：https://blog.csdn.net/bubuxindong/article/details/79376459

矩阵行列式：

https://blog.csdn.net/qq91752728/article/details/79786554

https://baike.baidu.com/item/%E7%9F%A9%E9%98%B5%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F/18882017?fr=aladdin

矩阵乘法：https://www.cnblogs.com/alantu2018/p/8528299.html