三、计算
1、什么是计算
说了这么多，虽然也许你已经了解到了图灵机的威力，也许还将信将疑，然而，你肯定仍然看不出来图灵机和计算有什么关系。而实际上，图灵机是一个理论计算机模型，它最主
要的能耐还是在于计算上！所以，下面我们就来看看什么是计算！
我可以先给出一个很摩登的对计算概念的理解：广义上讲，一个函数变化如把x变成了f(x)就是一个计算！如果我们把一切都看作是信息，那么更精确的讲，计算就是对信息的变换！如果采用这种观点，你会发现，其实自然界充满了计算！如果我们把一个小球扔到地上，小球又弹起来了，那么大地就完成了一次对小球的计算。因为你完全可以把小球的运动都抽象成信息，它无非是一些比如位置、速度、形状等等能用信息描述的东西嘛，而大地把小球弹起来就无非是对小球的这些信息进行了某种变换，因而大地就完成了一次计算！你可以把整个大地看作是一个系统，而扔下去的小球是对这个系统的输入，那么弹回来的小球就是该系统的输出，因而也可以说，计算就是某个系统完成了一次从输入到输出的变换！
这样理解不要紧，你会发现，现实世界到处都是计算了！因为我们完全可以把所有的自然界存在的过程都抽象成这样的输入输出系统，所有的大自然存在的变量都看作是信息，因而计算无处不在！也的确，正是采取了这样的观点，国外才有可能发明什么DNA计算机、生物计算机、量子计算机这些新鲜玩艺！因为人家把DNA的化学反应、量子世界的波函数变换都看作是计算了，自然就会人为地把这些计算组合起来构成计算机了。然而，似乎我们的理论家们还在力图证明关于图灵机的某个定理呢，却完全没有意识到计算其实就是这样简单！
下面回到图灵机！为什么说图灵机是一个计算的装置呢？很简单，图灵机也是一个会对输入信息进行变换给出输出信息的系统。比如前面说的小虫，纸带上的一个方格一个方格的颜色信息就是对小虫的输入，而小虫所采取的行动就是它的输出。不过这么看，你会发现，似乎小虫的输出太简单了。因为它仅仅就有那么几种简单的输出动作。然而，不要忘了，复杂性来源于组合！虽然每一次小虫的输出动作很简单，然而当把所有这些输出动作组合在一起，就有可能非常复杂！比如我们可以把初始时刻的纸带看作是输入信息，那么经过任意长的时间比如说100年后，小虫通过不断的涂抹纸带最后留下的信息就是输出信息了。那么小虫完成的过程就是一次计算。事实上，在图灵机的正规定义中，存在一个所谓的停机状态，当图灵机一到停机状态，我们就认为它计算完毕了，因而不用费劲的等上100年。
2、计算的组合
更有意思的是，我们可以把若干个计算系统进行合并构成更大的计算系统。比如还是那个小球吧，如果往地上放了一个跷跷板，这样小球掉到地上会弹起这个跷跷板的另一端，而跷跷板的另一边可能还是一个小球，于是这个弹起的小球又会砸向另一个跷跷板……。
我们自然可以通过组合若干图灵机完成更大更多的计算，如果把一个图灵机对纸带信息变换的结果又输入给另一台图灵机，然后再输入给别的图灵机……，这就是把计算进行了组合！也许你还在为前面说的无限多的内部状态，无限复杂的程序而苦恼，那么到现在，你不难明白，实际上我们并不需要写出无限复杂的程序列表，而仅仅将这些图灵机组合到一起就可以产生复杂的行为了。
有了图灵机的组合，我们就能够从最简单的图灵机开始构造复杂的图灵机。那么最简单的图灵机是什么呢？我们知道最简单的信息就是0和1，而最简单的计算就是对0或1进行布尔运算。而布尔运算本质上其实就三种：与、或、非。从最简单的逻辑运算操作最简单的二进制信息出发我们其实可以构造任意的图灵机！这点不难理解：任何图灵机都可以把输入、输出信息进行01的编码，而任何一个变换也可以最终分解为对01编码的变换，而对01编码的所有计算都可分解成前面说的三种运算。也许，现在你明白了为什么研究计算机的人都要去研究基本的布尔电路。奥秘就在于，用布尔电路可以组合出任意的图灵机！
3、征服无限的方法
回忆你小时候是如何学会加法运算的。刚开始的时候，你仅仅会死记硬背。比如你记住了1+1=2，记住了2+4=6，……。然而无论你记住多少固定数字的运算，你都不叫学会了加法。原因很简单，假如你记住了n对数的加法，那么我总会拿出第n+1对数是你没有记住的，因此你还是不会计算。原则上。自然数的个数是无穷的，所以任何两个数的加法可能结果也是无穷的，而如果采用死记硬背的方法，我们头脑怎么可能记住无穷数字的计算法则呢？但是随着年龄的增长，你毕竟还是最终学会了加法运算！说来奇怪，你肯定明白其实加法运算并不需要记住所有数字的运算结果，而仅仅需要记住10以内的任意两个数的和，并且懂得了进位法则就可以了。
你是怎么做到的呢？假设要计算32+69的加法结果，你会把32写到一行，把69写到下一行，然后把他们对齐。于是你开始计算2+9=11，进一位，然后计算3+6=9，再计算9+1=10再进一位，最后，再把计算的这些每一位的结果都拼起来就是最终的答案101。这个简单例子给我们的启发就是：作加法的过程就是一个机械的计算过程，这里输入就是32和69这两个数字，输出就是101。而你的程序规则就是具体的把任意两个10以内的数求和。这样，根据固定的加法运算程序你可以计算任两个数的加法了。
不知你发现了没有，这个计算加法的方法能够让你找到运用有限的规则应对无限可能情况的方法！我们刚才说了，实际上自然数是无限的，这样，所有可能的加法结果也是无限的。然而运用刚才说的运算方法，无论输入的数字是多少，只要你把要计算的数字写下来了，就一定能够计算出最终的结果，而无需死记硬背所有的加法！
因而，可以说计算这个简单的概念，是一种用有限来应对无限的方法！我们再看一个例子：假如给你一组数对：1,2 3,6 5,10 18,36，就这4对，这时问你102对应的数是多少？很显然，如果仅仅根据你掌握的已知数对的知识，是不可能知道答案的，因为你的知识库里面没有存放着102对应数字的知识。然而，如果你掌握了产生这组数对的程序法则，也就是看到如果第一个数是x，那么第二个数就是2x的话，你肯定一下子就算出102对应的是204了。也就是说，你实际上运用2x这两个字符就记住了无限的诸如1,2 3,6 102,204所有这样的数对。
这看起来似乎很奇怪。我怎么可能运用有限的字符来应对无限种可能呢？实际上，当没有人问你问题的时候，你存储的2x什么也没有，而当我问你102对应的是多少？我就相当于给你输入了信息：102，而你仅仅是根据这个输入信息102进行一系列的加工变换得到了输出信息204。因而输入信息就好比是原材料，而你的程序规则就是加工的方法，只有在原材料上进行加工，你才能输出最终产品。
这让我不禁想起了专家系统方法。其实专家系统就是一个大的规则库。也就相当于存储了很多很多的1,2 3,6 5,10这样特殊的规则对。而无论它存储的东西再多，总归会是有限的，你只要找到一个它没有存储到的问题，它就无能为力了。因而专家系统就会在你问到102对应是多少的时候失败！如何解决问题？人们想出了很多方法，就比如元规则的方法，其实元规则就相当于刚才所说的计算加法的程序，或者2x这样的东西。运用元规则的确可以应对无限种情况了。所以，这就是为什么你问计算机任何两个数相加是多少，它总能给出你正确的答案的原因，虽然它不必记住所有这些加法对的信息。
然而仅仅是元规则就能解决所有问题么？
假如给你三组数对，排列成一个表：
1,2 3,6 4,8 100,200
3,9 2,6 8,24 100,300
1,4 2,8 3,12 100,400
那么问你在第6行上，3这个数字对应的是多少？我们先要找出第一行的规律是2x没有疑问，第二行呢？是3x，第三行是4x，那么第6行就应该是7x了，因而在第6行上3
应该对应的是21了！
这里跟前面不太一样的是，虽然我们得到了每一行的规则比如第一行的2x，但是随着行数的增加，这个规则本身也变化了，因而第2行是3x，第3行是4x等等，因而我们又得到了一个规则本身的规则，即如果行数是n的话，那么这一行的规则就是(n+1)x。我们显然能够根据输入的n和x计算出数值。把这个道理放到专家系统里面，这种原理就是元规则的规则，元规则的元规则……，应该是无穷的！然而专家系统本身并不会自动的归纳这些规则，人必须事先把这些元规则写到程序里，这也就是专家系统最大的弊端。而我们人似乎总能在一些个别的事件中归纳出规则。
进一步问，机器可以归纳么？这就相当于说：可以为归纳方法编出程序么？这也是一个很有趣的问题，下面将要详细讨论！可以设想，假如我们找到了真正归纳的方法，那么编写出这样的程序，它就会一劳永逸的自己进行学习归纳了。我们完全再也不用给他编制程序和规则了。这正是人工智能的终极目标！
4、归纳
记得金大侠在他的一本武侠小说：《倚天屠龙记》中曾讲述了这样一段故事：武林泰斗张三丰在情急之下要把他新创的武功“太极拳”传授给新起之秀张无忌。张无忌除了有一身精湛的“内功修为”以外还对武学具有极高的悟性。因而当张三丰给他打过一趟太极拳以后，他就把所有的招式全部记下来了并且当场把所学的太极拳重新再打给张三丰看。在张无忌练拳的过程中，张三丰反复问他一个问题：“你已经忘掉几招了？”。他的回答令其他人异常不解，因为他越在那里揣摩太极拳的奥秘，忘记的招数也越来越多。旁边的人不明白，这样的学法忘的这么快，怎么可能学会武功呢？然而，没过多长时间，张无忌说已经忘掉了所有的招式。张三丰笑着说：“不错，你终于学会了‘太极拳’”。
从这个例子中，我们看到了什么？张无忌之所以能学会太极拳，正是因为他已经能够从具体的一招一式之中抽象出了更高一层次的武学规律，因而，当他把所有的有形的武功招数都忘记的时候，已经掌握了太极拳的精髓。而太极武功讲究的就是借力打力，以柔克刚。说白了就是事先并没有固定招式存在，而等到敌人向我进攻的时候我再动态的生成破解的招术。
用到图灵机模型中，我们不难发现，如果把具体的武功招术比喻成一些输入，而应对招术比喻成图灵机的输出，那么太极所讲究的借力打力、以柔克刚的方法其实就是类似上节讲过的2x这样的图灵程序！因而张无忌学太极拳的过程就是从特殊的输入输出提升到了一般的算法的过程。也可以说，张无忌运用了归纳学习法！
然而，仔细观察上一节的叙述，我们会发现。虽然图灵机能够将2x这样的法则计算得出结果，但是抽象出2x本身并不是机器自动产生的，而是需要我们外在的人编程进去。那么，面对这样的问题，究竟图灵机能不能像张无忌一样进行归纳思维呢？
可以设想，如果计算机真有了张无忌那两下子，我们人类可要省事儿多了！我们甚至不需要为计算机编程序，它就会自动的从若干个具体事例中归纳出一般的通用规律来。然而，究竟计算机能不能具有真正的归纳能力呢？让我们来仔细考虑一下这个问题。
我们说如果计算机能自动归纳，也就意味着我们可以为归纳方法来编写一段程序P。这个程序可以理解为输入的是一些特殊的数对，输出的是能够生成这些数对的程序。也就是说输入具体的“招术”，输出的是这些“招术”的一般规律。
如果说程序P真正可以自己归纳，那么P就必然可以归纳出所有的规律。我们已经讨论过了，其实任何一个程序都能够被看作是对输入的一个变换而得到输出。
那么程序P自然也是。假设这些对子(a,b),(c,d),(e,f),……都是程序P的输入输出对，那么我们挑选出前1000个（总而言之是足够多的对子）。把这1000个特殊情况输入到P中，那么P就应该能够产生这些对子的共性，也就是P自己这个程序了！换句话说，程序P产生了它自己，P自己把自己给归纳出来了！这似乎陷入了怪圈之中！
另外，我们人类设计出来P，如果P可以归纳所有的规律，那么P能否也能归纳出“人归纳P”本身这个规律呢？仍然是怪圈问题！这样的问题似乎还有很多。
反过来讲，如果假设归纳出所有规律的程序P不存在，那么为什么我们人类总能归纳出规律呢？什么样的具体问题是可归纳的，什么问题是不可归纳的？然而这些看起来非常重要的问题在目前还没有统一的答案！
我们还将会看到很多问题都涉及到逻辑中的怪圈，而由于计算理论已经触及了逻辑、信息的根本，所以把一些问题引向逻辑怪圈并不奇怪。
四、模拟
1、什么是模拟？
什么是模拟？又是一个基本的问题，爱因斯坦说过，越是基本的概念就越是难以刻画清楚。模拟这个概念就是一个很难说清的问题。
如果你站在一个朋友面前，冲着他做了一些鬼脸。那么他也会学着你的动作冲你做鬼脸，那么他就对你进行了模拟。
很明显，在你和你朋友之间存在着一系列的对应关系：你的手对应他的手，你的眼睛对应它的眼睛，你的嘴巴对应他的嘴巴……。而且你的手、眼睛、嘴巴做出来的动作也会对应他的手、眼睛、嘴巴做出来的动作。因而，模拟的关键是对应！如果集合A中的元素可以完全对应B中的元素，那么A就可以模拟B。
仍然用你冲你的朋友做鬼脸的例子，假如这次你做出的鬼脸以及动作没有被他立即模仿而是被他用某种符号语言记录到了日记本上了。比如：“X年X月X日，疯子XX冲我做了一个鬼脸：他伸出了左手食指放到了右眼下面往下拉他脸上的肉，并且吐出了他长长的舌头！”。过了N多天后，你的这位朋友掏出了日记本，按照上面的描述冲着大家做了这个鬼脸。很显然他仍然模拟了你当时的动作。那么，你朋友日记本上的那段对话描述是不是对你鬼脸动作的模拟呢？似乎答案是否，因为这段文字跟你没有半点相像。然而你的朋友正是根据这段描述才做出了对鬼脸动作的模拟。也就是说，他把那段文字翻译成了他的动作，而他这个动作就是对你的模拟。这个翻译的过程很显然就是某种信息的变换，我们完全可以把它理解为一个计算的过程，也就是可以用图灵机来实现的算法过程。所以，我们说日记本上的那段指令也构成了对你鬼脸动作的模拟，原因是这些信息也与你的鬼脸动作构成了对应。
具体的，我们可以用下面的图表示：
这里A是你的鬼脸动作，B是你朋友做出来的鬼脸动作，C是日记本上的描述。你朋友的动作B模拟了你的动作A，而B的动作信息是通过执行C上的描述得到的，也就是说存在着一个从C到B上信息的变换。这样我们认为C也对A进行了模拟。
2、图灵机之间的模拟
下面来考虑图灵机之间的模拟。按照前面的定义，一台图灵机包括：输入集合I，输出集合O，内部状态集合S，程序规则表T四个要素。那么如果两个图灵机之间的这些元素都存在刚才说的对应关系，就认为两个图灵机可以相互模拟了。然而图灵机的功能是完成对输入信息进行变换得到输出信息的计算。我们关心的也仅仅是输入输出之间的对应关系。因而一台图灵机A如果要模拟B并不一定要模拟B中的所有输入、输出、内部状态、程序规则这些元素，而只要在给定输入信息的时候，能够模拟B的输出信息就可以了。
也就是说在给定相同输入信息的情况下，只要输出信息o’能够模拟信息o就可以，也就认为B模拟了A。而信息o’对信息o的模拟又符合我们上面对一般集合之间模拟的定义。也就是说如果存在另外一台图灵机能够把信息o’计算并映射成信息o，就认为o’模拟了o。说白了也就是o’可以与o不一样，但是只要你能用一个图灵机把o’经过一系列运算变换到相同的o，就认为o’模拟了o。因而也就是图灵机B模拟了图灵机A。
进一步，我们可以假设A和B输入的信息也不一样，一个i，另一个是i’，那么如果i和i’之间也存在着模拟对应关系的话，我们仍然认为B可以模拟A。
有一点需要注意，如果A图灵机模拟了B图灵机，那么并不一定B图灵机可以模拟A图灵机。因为有可能A图灵机比B图灵机处理的信息更多。也就是说假如B能处理的信息就是1，2，3，4，而A处理的信息除了这四个数之外，还有5,6,7,8，那么显然当输入1234的时候A能够模拟B，而当输入5678的时候B没定义了，不能完成任何操作。在这个时候B显然不能模拟A了。
3、计算等价性
讲了这么多关于模拟的知识有什么用呢？模拟的一个关键作用就是阐明什么是等价的。比如为了完成加法运算，你写了一段程序，而我也写了另一段程序，虽然我们两个的程序可能完全不一样，然而只要我们两个程序之间能够相互模拟，也就是说只要给定两个数，我们都能正确的一模一样的算出它们的和，那么我们两个程序就是等价的！
具体地说，如果A能够模拟B，并且B也能模拟A，那么A和B就是计算等价的。计算等价性是非常强有力的，因为它揭示了在我们这个宇宙中某种非常普遍的规律。我们仍然用刚才说的加法算法为例子来说明。虽然计算两个数的加法的方法可能有无穷多种，也有可能用各种各样的计算机语言，什么C,Basic,JAVA等等来实现，更有可能奔跑在不同的计算机上，然而所有这些程序，这些计算的结果意义都是相同的。也就是说所有与加法运算算法计算等价的计算机程序都是一回事儿，因而加法算法这个东西是某种永恒而独立的！
看！我们在宇宙中找到了某种永恒性了，这种永恒性反映了宇宙规律中某种本质上的美！
计算等价性就和能量守恒定律一样具有这种高级的对称性，我甚至觉得计算等价性要比能量守恒定律更加深刻！因为无论如何能量守恒定律仍然是刻画了物理系统的某种属性，而计算等价性则刻画的是非常广泛的信息系统之间的某种守恒和对称性，而一切系统都可以被抽象为信息系统，甚至是物质世界，所以，计算等价性是跨越所有系统之间的某种高级对称的、永恒的、美的东西。
为了进一步理解计算等价性的威力所在，我们不妨科幻一下。假设我们能够用计算机模拟某个人，比如说张三的思维过程了（也就是假设真正的人工智能可以实现了）。那也就是说我们可以用一个计算机软件X来完成对张三思维的模拟。这样，这个软件就会在一切与它具有计算等价性的程序甚至系统上实现张三这个人的思维过程！
比如我们完全有可能让一大堆分子的碰撞来实现X这个软件，那么就会在这大堆分子碰撞的过程中完成对张三思维的模拟，也就是说张三这个人的意志蹦到了这一大堆分子系统中去了！更进一步，我们还可以找来足够多的人比如这个星球上所有的人来模拟那大堆分子的碰撞，从而完成软件X的计算。
这意味着什么？意味着张三这个人的思维或者说意识在那群人的整体上突现了！很有可能，这些构成软件X的人都并没有意识到在他们上层的张三的意识的出现。更有趣的是，张三自己很有可能就在那一群人之中呢！
相信你已经能够参悟到了什么是计算等价性的威力了，那么我也相信你能够理解为什么说任何一台我们使用的计算机都不过是图灵机的翻版了。
4、意义
考虑下面三句话：“请把窗户关上！”，“Please close the window！”，“01001110111”。这三句话分别说给不同房间中的三个人。第一句话告诉给一个中国人，于是他关上了窗户；第二句话告诉了一个英国人，他也关上了窗户；第三句话告诉的是一个机器人，他也关上了窗户。这三句话从表面看显然是完全不一样的，然而当它们让不同的人来听的时候，却达到了相同的最终结果：窗户被关上了。那么，我们自然会想，这三句话有何相同呢？显然，答案是他们的意义相同。然而什么又是意义呢？
真正回答意义的本质是一个很困难的问题，现在人们正在努力理解语义是什么。虽然我们仍没有完全回答这个问题，但是，不妨从图灵机、计算以及计算等价性的观点来考虑该问题。如果把中国人、英国人、机器人都看作是图灵机，而那三句话看作是对他们的输入信息，那么最终的结果就是图灵机计算的输出。这个时候我们看到三种结果是相同的。也就是说这些图灵机之间是可以相互模拟的。
考虑这三句话，显然它们都具有相同的意义。而根据前面的叙述，能够相互模拟的图灵机是具有相同的计算等价性的。因而描述听到关窗指令后并按照指令行事的图灵机具有相同的计算等价性。而这种计算等价性就好像是前面说到的加法规则一样是独立于计算系统、执行机构的。
我们不难得出结论：所谓语言的意义，就是执行这个语言系统的计算等价性！
我们如何知道不同的语言表达了相同的意义呢？显然，我们只要有了翻译就可以明白“请把窗户关上”与“Please close the window”具有相同意义，而翻译所作的工作无非就是输入中文信息输出英文信息这样的信息转换工作，因而，也就是一个计算过程！
然而当不存在从一个语言到另外一个语言的翻译的时候，我们也并不能断定某一个符号序列对于固定的图灵机是否有意义。这就是说，我们虽然不能明白鸟叫是什么含义，但并不能否认它们的叫声可能有意义，因为只有鸟自己才能明白叫声的含义。
五、万能图灵机
1、编码
其实我说的这个“万能图灵机”就是计算机术语中的“通用图灵机”，英文是Universal Turing Machine。而我之所以称之为“万能图灵机”完全是因为这个名字似乎听起来更加直观。
前面已经讲述了模拟的概念，那么自然会产生这样一个问题：存在不存在一台图灵机能够模拟所有其他的图灵机呢？答案是存在的。这种能够模拟其他所有图灵机的图灵机就叫做通用图灵机，也就是我们所说的“万能图灵机”。这种机器在图灵计算这个范畴内，是万能的！
要说明为什么“万能图灵机”是存在的，以及它是怎样模拟其他任何图灵机的动作的，我们必须先要理解究竟怎样把任何一台图灵机输入到“万能图灵机中”，这就需要理解编码的概念。什么是编码呢？你可以理解为对某一堆事物进行编号就是编码。
其实我们每人每天都在跟编码打交道。每个人都有一个身份证，而这个身份证都有一个ID号码吧？那么这个号码就是你的编号。上学的时候老师给我们每个人都分配一个学号也是编码。
26个字母能够被编码，比如a对应1，b对应2，……，这是显而易见的。然而任意一个英文单词都是可以被编码的则不那么容易一眼看出来。事实上，我们可以按照字典顺序把所有的单词都列出来。也就是说字母顺序越靠前，字符长度越短的单词排在前面，其次长单词，字母顺序靠后的单词就排在后面。比如一种可能的字典顺序：
a, about, an…, bad, be, behave…..
只要这样一排好序，我们就能给每个单词赋予一个数字，最简单的方法是，给第一个字母分配1，第二个分配2，……，因而我们就给所有的单词都编码了。
下面讨论任意一个图灵机能不能被编码。我们假设讨论的所有图灵机的输入集合都是仅有0,1两种，而它的输出也仅仅有0,1,2,3四个动作分别表示前移，后移，涂写0，涂写1。而内部状态数最多为10000个（总之足够多就可以了）。下面考虑程序。
假设图灵机的程序表为：
当前内部状态s 输入数值i 输出动作o 下一时刻的内部状态s\'
2 1 0 3
1 0 3 2
3 0 1 1
… … … …
那么我们可以把它写到一行中，这就是2,1,0,3; 1,0,4,2; 3,0,1,1，注意用“，”分开了内部状态，输入数值，输出动作和下一时刻的状态，而用“；”分开了一行一行具体的程序。
这样无论这个表有多大，我们都可以把它写成这样的一个字符串。这个字符串就相当于一个英文单词，这就是对该图灵机程序的一个描述。同理，其他的图灵机也能够得到这样的一个单词描述，那么我们再用字典序的方法对这些描述进行编码，也就得到了对所有图灵机的编码。
如果一台图灵机的编码是M，它读入的信息是x，这样只要把M和x用“.”号隔开的方法分开作为数据输入到“万能图灵机”中，运用特殊的算法，这个万能的机器就能得出对M计算x的模拟结果了。事实上可以由定理证明万能图灵机对于任意的编码都是存在的，在这里我们就不叙述证明过程了。
(校注：什么特殊的算法呢？我又看了下《皇帝的新脑》的描述，简述如下,首先要编造一个程序表，这个程序表要能对所有程序表的一种模拟（也可以说是一种抽象），然后用把每个图灵机的编码进行一个对应，构造的思考过程很繁琐。对应现在每个CPU的指令集，应该就是这个程序表的一种实际构造。)
2、自食其尾
既然“万能图灵机”能够模拟任何一台图灵机的动作，那么它能不能模拟它自己的动作呢？答案是肯定的。我们首先看到“万能图灵机”也是图灵机，也有固定的输入、输出、状态的集合、固定的程序，因而它也能被编码。
于是我们就可以把它自己的编码信息输入给它自己了。这就好像一条蛇咬到了自己的尾巴。会发生什么呢？自食其尾就会产生怪圈，虽然我们现在还没有看到任何不好的征兆，然而在下一节里面，我们将看到这种怪圈会诞生什么样的结论。而且我们也会看到，其实这个怪圈是和康托尔对角线法则、哥德尔定理有关的。
图灵机一旦能够把程序作为数据来读写，就会诞生很多有趣的情况。首先，存在某种图灵机可以完成自我复制！事实上，计算机病毒就是这样干的！我们简单说明一下，这个特殊的图灵机是如何构造的。
我们假定，如果一台图灵机是X，那么它的编码就记为<X>，这样能够自我复制的图灵机T的功能是，把T的编码<T>写到纸带上输入到“万能图灵机”，那么“万能图灵机”就能根据读入的<T>，在纸带上再次输出<T>的一份拷贝<T>’，并且<T>=<T>’。
下面就来大概解释如何构造这样的T。首先T由两部分构成AB。第一部分A的功能是指导“万能图灵机”把B的编码<B>原封不动的打印到纸带上，这个时候纸带上就有了<B>，如果这个时候你想用同样的方法打印<A>到纸带上是不行的，因为会出现循环定义。
然而B可以这样做：读入纸带上的信息X，生成能够打印X的图灵机：p(X)的编码<p(X)>打印到纸带上，并把X和<p(X)>的内容前后调换，有定理保证这样的图灵机是存在的。
这样当B读到纸带上的信息<B>之后就会打印出能够打印<B>的图灵机的编码也就是<A>了，然后把<A>和<B>位置对换就构成了<AB>也就是<P>，所以P把自己进行了一次拷贝。
初看起来，这种自我复制的程序是不可能的，因为这包含了无穷无尽的怪圈。P要能产生它自己<P>就意味着P中至少包含了一个<P>，而这个<P>中又包含了至少一个<P>……，最后P必然是一个无限大的程序，然而我们却能够证明P是可能的。
有了“万能图灵机”还能得到很多有趣的结论，比如假设有一大群图灵机，让它们彼此之间随机的相互碰撞，当碰到一块的时候，一个图灵机可以读入另一个图灵机的编码，并且修改这台图灵机的编码。那么这样一个图灵机“汤”中会产生什么呢？圣塔菲研究所的芳塔娜已经研究了这个实验，并得出了惊人的结论：在这样的系统中会诞生自我繁殖的、自我维护的类似生命的复杂组织，而且这些组织能进一步联合起来构成更大的组织！