【矩阵论笔记】最小多项式与Jordan型的关系

方阵A的次数最低、且首一的零化多项式称为A的最小多项式。
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算这个没什么办法，只能暴力计算，从m=1开始算，把A带进去是不是等0。

Jordan块的最小多项式是他的特征多项式，阶数不能再降了。

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$A_1$ 是一个Jordan块，他的最小多项式不将阶。

这时候 $A_2$ 的最小多项式只有两种情况，从1阶开始试。然后取最小共倍数，构成原来矩阵的最小多项式。

有了最小多项式就可以简化方阵多项式的计算。

定理：相似矩阵有相似的最小多项式
N阶方阵可对角化的充要条件是最小多项式无重根。

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上面的 $n_i$ 是代数重数，是子Jordan的阶数。
子Jordan矩阵是由Jordan块构成，Jordan块的个数是由 $\lambda_i$ 的几何重数构成 $k_i$

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这些Jordan块的阶和最小多项式有关，最小多项式的幂就是Jordan块的阶。

代数重数就是特征多项式的幂，阶数就是总的幂数之和。
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根据最小多项式得出子Jordan块的最高阶数

1、相似化简成对角阵
2、通过零化多项式对多项式降阶