随机信号-功率谱估计

一、谱估计

经典谱估计以傅里叶变换为基础，分为直接法（即周期图法）和间接法。（二者只是求自相关函数方法不同）

现代谱估计以模型为基础，利用采样数据建立模型，对数据进行外推，进而提高了谱估计的分辨率。（主要用于短数据记录）

维纳辛钦定理：广义平稳随机信号的功率谱与自相关函数互为傅里叶变换的关系

研究的函数为：两个正弦信号与白噪声叠加

二、算法

1．周期图法谱估计

（1）步骤

第一步：由获得的N点数据构成的有限长序列直接求傅里叶变换，得频谱；

第二步：取频谱幅度的平方，并除以N，以此作为对x(n)真实功率谱的估计；

（2）实验结果及分析

采样点只有64个时，不能分辨出f1和f2.只能看出f=0.11；

当有512个或者更多个采样点时，可以分辨出f1和f2.且较为接近真实值；

由此可得，这种方法分辨率较低，旁瓣过大时容易影响真实值，适用于采样点数较多的情况。

以下均为AR模型即自回归模型，p的选取范围N/2~N/3

2．Yule-Walker方程法

（1）步骤

第一步：算出自相关函数，

第二步：自相关函数转换成相关矩阵，通过计算求出G和a1,,a2…ap（AR模型参数）

第三步：计算出系统函数，并计算功率谱

可以较好地估计信号源频率，但是依旧不能准确分辨出少量采样点的f1和f2，且计算量大。

AR参数求解最简单的一种，适用于长数据短数据分辨率不如其他

3.Levinson-Durbin算法 莱文逊算法

（1）步骤

由原序列用循环卷积法求出自相关序列，再运用Levinson-Durbin算法 求出系数a和ρ。（AR模型参数）

问题：受自相关函数的限制，这种方法存在较大误差。

4.Burg算法，p的选取范围N/2~N/3（经验范围）

（1）步骤

第一步：根据观测数据x(n)计算预测误差功率的初始值和前、后向预测误差的初始值

第二步：求反射系数Km

第三步：计算前向预测滤波器系数

第四步：计算滤波器误差

第五步：计算滤波器输出

第六步：令m=m+1，并重复第二步到第五步，直到不再明显减小。

Burg算法使前向预测误差和后向预测误差均方误差之和最小来求取Km

Burg算法的优点是求得的AR模型保持稳定，抗干扰能力强。由于Burg算法不需要估算自相关函数，所以优于自相关法。尤其在短数据时，Burg算法明显优越,具有较高的谱分辨率.但由于Burg算法的递推关系仍然受Levinson递推关系的约束。

P的阶数问题：当P的阶数过小的时候，会无法分辨出离的较近的两个频谱，P过大频谱图会出现过多伪峰，导致分辨率严重下降。

频率分辨率：，N越大，频率分辨率越小，预测越准确

DFT缺点：

1.泄露现象：加窗截断导致，使原有信号频率上的能量向其他频率泄露

改进：1.增大N，增加窗长；2.选择合适的窗；

2.栅栏效应：只计算w=2pik/N处频谱

改进：序列末尾加0

3.混叠现象：序列截断、采样频率不完全满足采样定理

改进：增大fc采样——低通滤波器——降低fc进行DFT分析