高等数学函数求导

基本公式求导

1. \((C)\'=0\)

2. \((x^a)\'=ax^a-1\)

3. \((a^x)\'=a^xlna\)

   \((e^x)\'=e^x\)

4. \((log~a~x)\'=\frac{1}{xlna}\)

   \((lnx)\'=\frac{1}{x}\)

5. 三角函数相关

   1. \((sinx)\'=cosx\)
   2. \((cosx)\'=-sinx\)
   3. \((tanx)\'=\frac{1}{cos^2x}=sec^2x\)
   4. \((cotx)\'=-csc^2x\)
   5. \((secx)\'=secxtanx\)
   6. \((cscx)\'=-cscxcotx\)

6. 反三角函数相关

   1. \((arcsinx)\'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}(-1<x<1)\)
   2. \((arccosx)\'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}(-1<x<1)\)
   3. \((arctanx)\'=\frac{1}{1+x^2}(-\infin<x<+\infin)\)
   4. \((arccotx)\'=-\frac{1}{1+x^2}(-\infin<x<\infin)\)

四则运算求导：

1. \((u\plusmn v)\'=u\'\plusmn v\'\)
2. \((uv)\'=u\'v+uv\'\)
3. \((\frac{u}{v})\'=\frac{u\'v-uv\'}{v^2}\)

复合函数求导

\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=f\'[\psi(x)]\cdot\psi\'(x)\)

高阶求导

• 归纳法

  • \(sinx\)的n阶导数：\((sinx)^{(n)}=sin(x+\frac{n\pi}{2})\)

    \(cosx\)的n阶导数：\((cosx)^{(n)}=cos(x+\frac{n\pi}{2})\)

  • \(y=e^xsinx\)的n阶导数：\(y^{(n)}=(\sqrt2)^{(n)}e^xsin(x+\frac{n\pi}{4})\)

  • \(y=\frac{1}{ax+b}\)的n阶导数：\(y^{(n)}=\frac{(-1)^nn!\times a^n}{(ax+b)^{n+1}}\)

  • \(y=ln(ax+b)\)的n阶导数：\(y^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!\times a^n}{(ax+b)^n}\)

• 公式法

  莱布尼茨公式：

  \((u v)^{(n)}=C^0_nu^{n}v+C^1_nu^{n-1}v\'+C^2_nu^{n-2}v\'\'+……+C^n_n u v^{(n)}\)

隐函数求导

由参数方程确定的导数