1、二叉树的深度遍历
二叉树的遍历是指从根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树的所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。
对于二叉树的深度遍历，有前序遍历二叉树、中序遍历二叉树、后序遍历二叉树三种形式，下面分别进行学习和介绍。
1.1 二叉树的前序遍历
1）前序递归遍历
规则是若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树。如下图所示，遍历的顺序为ABDGHCEIF。
前序递归遍历的代码实现，如下所示。
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//前序递归遍历void PreOrderTraverse(BiTree t)
{ if(t != NULL)
{
printf("%c ", t->data);
PreOrderTraverse(t->lchild);
PreOrderTraverse(t->rchild);
}
} |
2）前序非递归遍历
根据前序遍历访问的顺序，优先访问根结点，然后再分别访问左孩子和右孩子。即对任一结点，其可看做是根结点，因此可以直接访问，访问完之后，若其左孩子不为空，按相同的规则访问它的左子树；当访问其左子树时，再访问它的右子树，因此其处理过程如下：
对于任一结点p：
a. 访问结点p，并将结点p入栈；
b. 判断结点p的左孩子是否为空，若为空，则取栈顶结点并进行出栈操作，并将栈顶结点的右孩子置为当前的结点p，循环置a；若不为空，则将p的左孩子置为当前结点p；
c. 直到p为空，并且栈为空，则遍历结束。
前序非递归遍历代码实现，如下所示。
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//前序非递归遍历int NoPreOrderTraverse(BiTree t)
{ SqStack s;
InitStack(&s);
BiTree tmp = t;
if(tmp == NULL)
{
fprintf(stdout, "the tree is null.\n");
return ERROR;
}
while((tmp != NULL) || (IsEmpty(&s) != 1))
{
while(tmp != NULL)
{
Push(&s, tmp);
printf("%c ", tmp->data);
tmp = tmp->lchild;
}
if(IsEmpty(&s) != 1)
{
Pop(&s, &tmp);
tmp = tmp->rchild;
}
}
return OK;
} |
1.2 中序遍历二叉树
1）中序递归遍历
规则是若树为空，则空操作返回，否则从根结点开始（注意这里并不是先访问根结点），中序遍历根结点的左子树，然后是访问根结点，最后中序遍历右子树。如下图所示，遍历的顺序为：GDHBAEICF。
中序递归遍历代码实现如下所示。
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//中序递归遍历
void
InOrderTraverse(BiTree t)
{
if(t
!= NULL)
{
InOrderTraverse(t->lchild);
printf("%c
",
t->data);
InOrderTraverse(t->rchild);
}
}
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2）中序非递归遍历
根据中序遍历的顺序，对于任一结点，优先访问其左孩子，而左孩子结点又可以看做一个根结点，然后继续访问其左孩子结点，直到遇到左孩子结点为空的结点才停止访问，然后按相同的规则访问其右子树。其处理过程如下：
对于任一结点：
a. 若其左孩子不为空，则将p入栈，并将p的左孩子设置为当前的p，然后对当前结点再进行相同的操作；
b. 若其左孩子为空，则取栈顶元素并进行出栈操作，访问该栈顶结点，然后将当前的p置为栈顶结点的右孩子；
c. 直到p为空并且栈为空，则遍历结束。
中序非递归遍历代码实现如下所示。
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//中序非递归遍历二叉树
int
NoInOrderTraverse(BiTree t)
{
SqStack
s;
InitStack(&s);
BiTree
tmp = t;
if(tmp
== NULL)
{
fprintf(stderr,
"the
tree is null.\n");
return
ERROR;
}
while(tmp
!= NULL || (IsEmpty(&s) != 1))
{
while(tmp
!= NULL)
{
Push(&s,
tmp);
tmp
= tmp->lchild;
}
if(IsEmpty(&s)
!= 1)
{
Pop(&s,
&tmp);
printf("%c
",
tmp->data);
tmp
= tmp->rchild;
}
}
return
OK;
}
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1.3 后序遍历二叉树
1）后序递归遍历
规则是若树为空，则空操作返回，否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后是访问根结点。遍历的顺序为：GHDBIEFCA。
后序递归遍历代码实现，如下所示。
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//后序递归遍历
void
PostOrderTraverse(BiTree t)
{
if(t
!= NULL)
{
PostOrderTraverse(t->lchild);
PostOrderTraverse(t->rchild);
printf("%c
",
t->data);
}
}
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2）后序非递归遍历
后序遍历的非递归实现是三种遍历方式中最难的一种。因为在后序遍历中，要保证左孩子和右孩子都已被访问，并且左孩子在右孩子之前访问才能访问根结点，这就为流程控制带来了难题。下面介绍一种思路。
要保证根结点在左孩子和右孩子访问之后才能访问，因此对于任一结点p，先将其入栈。若p不存在左孩子和右孩子，则可以直接访问它，或者p存在左孩子或右孩子，但是其左孩子和右孩子都已经被访问过了，则同样可以直接访问该结点。若非上述两种情况，则将p的右孩子和左孩子依次入栈，这样就保证了每次取栈顶元素的时候，左孩子在右孩子之前别访问，左孩子和右孩子都在根结点前面被访问。
后序非递归遍历代码实现，如下所示。
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//后序非递归遍历二叉树
int
NoPostOrderTraverse(BiTree t)
{
SqStack
s;
InitStack(&s);
BiTree
cur; //当前结点
BiTree
pre = NULL; //前一次访问的结点
BiTree
tmp;
if(t
== NULL)
{
fprintf(stderr,
"the
tree is null.\n");
return
ERROR;
}
Push(&s,
t);
while(IsEmpty(&s)
!= 1)
{
GetTop(&s,
&cur);//
if((cur->lchild
== NULL && cur->rchild == NULL) || (pre != NULL && (pre == cur->lchild || pre == cur->rchild)))
{
printf("%c
",
cur->data); //如果当前结点没有孩子结点或者孩子结点都已被访问过
Pop(&s,
&tmp);
pre
= cur;
}
else
{
if(cur->rchild
!= NULL)
{
Push(&s,
cur->rchild);
}
if(cur->lchild
!= NULL)
{
Push(&s,
cur->lchild);
}
}
}
return
OK;
}
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2、二叉树的广度遍历
广度遍历二叉树（即层次遍历）是用队列来实现的，从二叉树的第一层（根结点）开始，自上而下逐层遍历；在同一层中，按照从左到右的顺序对结点逐一访问。如下图所示，遍历的顺序为：ABCDEFGHI。
按照从根结点到叶结点、从左子树到右子树的次序访问二叉树的结点，具体思路如下：
A. 初始化一个队列，并把根结点入队列；
B. 当队列为非空时，循环执行步骤3到步骤5，否则执行步骤6；
C. 出队列取得一个结点，访问该结点；
D. 若该结点的左子树为非空，则将该结点的左子树入队列；
E. 若该结点的右子树为非空，则将该结点的右子树入队列；
F. 结束。
广度遍历二叉树代码实现，如下所示。
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//层次遍历二叉树
- 广度遍历二叉树 - 队列
int
TraverseBiTree(BiTree t)
{
LinkQueue
q;
InitQueue(&q);
BiTree
tmp = t;
if(tmp
== NULL)
{
fprintf(stderr,
"the
tree is null.\n");
return
ERROR;
}
InsertQueue(&q,
tmp);
while(QueueIsEmpty(&q)
!= OK)
{
DeQueue(&q,
&tmp);
printf("%c
",
tmp->data);
if(tmp->lchild
!= NULL)
{
InsertQueue(&q,
tmp->lchild);
}
if(tmp->rchild
!= NULL)
{
InsertQueue(&q,
tmp->rchild);
}
}
return
OK;
}
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3、二叉树的建立
如果要在内存中建立一个如下左图这样的树，wield能让每个结点确认是否有左右孩子，我们对它进行扩展，变成如下右图的样子，也就是将二叉树中的每个结点的空指针引出一个虚结点，其值为一个特定值，比如”#”，称之为扩展二叉树。扩展二叉树就可以做到一个遍历序列确定一棵二叉树了。如前序遍历序列为AB#D##C##。
有了这样的准备，就可以看看如何生成一棵二叉树了。假设二叉树的结点均为一个字符，把刚才前序遍历序列AB#D##C##用键盘挨个输入，实现的算法如下所示。
二叉树建立实现代码一，如下所示。
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//创建树
//按先后次序输入二叉树中结点的值(一个字符),#表示空树
//构造二叉链表表示的二叉树
BiTree
CreateTree(BiTree t)
{
char
ch;
scanf("%c",
&ch);
if(ch
== \'#\')
{
t
= NULL;
}
else
{
t
= (BitNode *)malloc(sizeof(BitNode));
if(t
== NULL)
{
fprintf(stderr,
"malloc()
error in CreateTree.\n");
return;
}
t->data
= ch; //生成根结点
t->lchild
= CreateTree(t->lchild); //构造左子树
t->rchild
= CreateTree(t->rchild); //构造右子树
}
return
t;
}
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二叉树建立实现代码二，如下所示。
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//创建树方法二
int
CreateTree2(BiTree *t)
{
char
ch;
scanf("%c",
&ch);
if(ch
== \'#\')
{
(*t)
= NULL;
}
else
{
(*t)
= (BiTree)malloc(sizeof(BitNode));
if((*t)
== NULL)
{
fprintf(stderr,
"malloc()
error in CreateTree2.\n");
return
ERROR;
}
(*t)->data
= ch;
CreateTree2(&((*t)->lchild));
CreateTree2(&((*t)->rchild));
}
return
OK;
}
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其实建立二叉树，也是利用了递归的原理。只不过在原来应该打印结点的地方，改成生成结点、给结点赋值的操作而已。因此，完全可以用中序或后序遍历的方式实现二叉树的建立，只不过代码里生成结点和构造左右子树的代码顺序交互一下即可。
4、二叉树的深度
树中结点的最大层次称为树的深度。对于二叉树，求解树的深度用以下两种方法实现。即非递归和递归的方法实现。
递归求解二叉树的深度实现代码，如下所示。
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//二叉树的深度
- 递归
//返回值:
二叉树的深度
int
BiTreeDeep(BiTree t)
{
int
dept = 0;
if(t)
{
int
lchilddept = BiTreeDeep(t->lchild);
int
rchilddept = BiTreeDeep(t->rchild);
dept
= lchilddept >= rchilddept ? (lchilddept + 1) : (rchilddept + 1);
}
return
dept;
}
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对于非递归求解二叉树的深度，这里采用了层次遍历的原理，通过层次遍历，找到二叉树的最后一个结点。然后，根据该结点，寻找其双亲结点，即找到其上一层，此时深度dept加1，依次进行，直到根结点为止。
非递归求解二叉树深度的实现，如下所示。
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//返回二叉树的深度
- 非递归 - 受层次遍历二叉树的影响
//返回值:
二叉树的深度
int
NoBiTreeDeep(BiTree t)
{
LinkQueue
q;
InitQueue(&q);
BiTree
tmp = t;
if(tmp
== NULL)
{
return
ERROR;
}
InsertQueue(&q,
tmp);
while(QueueIsEmpty(&q)
!= OK)
{
DeQueue(&q,
&tmp);
//printf("%c
", tmp->data);
if(tmp->lchild
!= NULL)
{
InsertQueue(&q,
tmp->lchild);
}
if(tmp->rchild
!= NULL)
{
InsertQueue(&q,
tmp->rchild);
}
}
int
deep = 0;
BiTree
m = tmp;
BiTree
n = t;
while(m
!= n)
{
InsertQueue(&q,
n);
while(QueueIsEmpty(&q)
!= OK)
{
DeQueue(&q,
&tmp);
if(m
== tmp->lchild || m == tmp->rchild)
{
deep++;
m
= tmp;
break;
}
if(tmp->lchild
!= NULL)
{
InsertQueue(&q,
tmp->lchild);
}
if(tmp->rchild
!= NULL)
{
InsertQueue(&q,
tmp->rchild);
}
}
}
return
deep + 1; //深度从1开始
}
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5、参考引用
1）《大话数据结构》
2）严蔚敏老师之《数据结构》
3）http://www.cnblogs.com/dolphin0520/archive/2011/08/25/2153720.html
4）http://blog.chinaunix.net/uid-20788636-id-1841329.html
对于帮助我理解二叉树的各位，非常感谢。