理解矩阵

内容大部分摘自孟岩老师博客 http://blog.csdn.net/myan/article/details/647511

《理解矩阵一》

孟岩老师从“空间”谈起，而大多数人最熟悉的空间，毫无疑问就是我们生活在其中的三维空间，从数学上来说，这是一个三维的欧几里德空间。

我们所熟悉的这样一个空间，有一个很重要的性质，就是可以容纳运动，这里所说的运动，是一个点到另一个点的移动（变换），而不是微积分意义上的“连续”性的运动。

这个性质不仅是三维空间所特有的，它是空间的本质，即，容纳运动是空间的本质特征。

因此，不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动（变换）。所以，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，这些变换都是对应空间中允许的运动形式。

总结一句话，“空间”是容纳运动的一个对象集合，而变换则对应的空间的运动

接下来，孟岩老师着重讲解了我们熟悉的线性空间（其他空间的分析方法一样）。

既然线性空间也是空间，具有空间的性质，那么有两个需要解决的问题：

1，空间是一个对象集合，那么线性空间是怎样的对象集合？

2，线性空间中的运动如何表示？也就是，线性变换如何表示？

answer1：线性空间中的任何一个对象，通过选取基和坐标的办法，都可以表达为向量的形式

answer2：用矩阵来描述线性空间中任何一个运动（变换），而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量

总结一句话，在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，用矩阵与向量的乘法施加运动

到这里，终于提到了矩阵，也直接揭示了矩阵的本质，即，矩阵的本质是运动的描述！！

然而向量本身也可以看成是n×1的矩阵，向量表示空间中的对象，矩阵表示空间中的运动，一个空间中的对象和运动可以用相类同的方式表示，这只是巧合么？

《理解矩阵二》

在上一篇中，最后孟岩老师的结论是“矩阵是运动的描述”，需要重申，这里的运动，不是微积分中的连续运动，而是瞬间发生的变化。比如这个时刻在A点，下一个时刻，一下子就“跃迁”到B点，其中不需要经过A点与B点之间的任何一个点，这样的“运动”，或者“跃迁”，是违背我们的日常的经验。所以，可以将结论改成：

矩阵是线性空间里跃迁的描述

或者：

矩阵是线性空间里变换的描述

其中，所谓变换，就是空间里一个点（元素/对象）到另一个点（元素/对象）的跃迁

线性变换的定义：

设有一种变换T，是得对于线性变换V中间任何两个不相同的对象x和y，以及任意实数a和b，有：

T（ax+by） = aT（x） + bT（y），

那么就成T为线性变换。

线性变换究竟是一种什么样的变换？

就是从一个线性空间V的某一点跃迁到另一个线性空间W的另一个点的运动。这句话蕴含着两个意思：

线性变换，可以用一个非奇异矩阵来描述，反之也成立，用一个非奇异矩阵去描述一个变换，一定是一个线性变换。

所谓非奇异，只对方针有意义。（n阶方阵A的行列式不为0，称A为非奇异矩阵或满秩矩阵）

以下只讨论最常用，最有用的一种变换，就是在同一个线性空间之内的线性变换。

基：线性空间里的坐标系

（注意是坐标系，不是坐标值，这两者可是一个“对立矛盾统一体”？？）

千呼万唤始出来，矩阵的定义：

矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述，在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。

确定矩阵的时候，有一个前提，即“选定一组基”。对于一个线性变换，只要选定一组基，那么就可以找到一个矩阵描述这个线性变换；换一组基，就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变化的描述，但又不是线性变换的本身。

所以，矩阵仅是线性变换的一个描述，选定不同的基，得到的矩阵不同。矩阵非线性变换本身。

那么，我们如何知道两个矩阵是描述的同一个线性变换呢？

相似矩阵：

若矩阵A与B是同一个线性变换的两个不同的描述，则一定能找到一个非奇异矩阵P，使得A,B之间满足这样的关系：

A = P^-1BP

所谓相似矩阵，就是同一个线性变换的不同的描述矩阵。

一族相似矩阵都是同一个线性变换的描述。

矩阵P，就是A矩阵所基于的基与B矩阵所基于的基，这两组基之间的一个变换关系。