0-1背包问题回溯法

作为算法设计分析的经典问题，已经写过一次了，不过实现的方法不同，这次是回溯法解决问题。问题还是老问题，但是方法是新的！哈哈

在这里再简单写一下问题要求：

给定n中物品和一个容量为c的背包，物品i的重量为Wi,其价值为Vi,0-1背包问题是如何选择装入背包的物品（物品不可分割），使得装入背包的物品的价值为最大。

1.题目分析：

考虑到每种物品只有2 种选择，即装入背包或不装入背包，并且物品数和背包容量已给定，要计算装入背包物品的最大价值和最优装入方案，可用回溯法搜索子集树的算法进行求解。
问题是n个物品中选择部分物品，可知，问题的解空间是子集树。比如物品数目n=3时，其解空间树如下图，边为1代表选择该物品，边为0代表不选择该物品。使用x[i]表示物品i是否放入背包，x[i]=0表示不放，x[i]=1表示放入。回溯搜索过程，如果来到了叶子节点，表示一条搜索路径结束，如果该路径上存在更优的解，则保存下来。如果不是叶子节点，是中点的节点（如B），就遍历其子节点（D和E），如果子节点满足剪枝条件，就继续回溯搜索子节点。

2.算法设计：
a. 物品有n种，背包容量为C，分别用p[i]和w[i]存储第i种物品的价值和重量，用
x[i]标记第i种物品是否装入背包，用bestx[i]存储第i种物品的最优装载方案；
b. 用递归函数Backtrack (i,cp,cw)来实现回溯法搜索子集树（形式参数i表示递归深
度，n用来控制递归深度，形式参数cp和cw表示当前总价值和总重量，bestp表示当前
最优总价值）：
① 若i >n，则算法搜索到一个叶结点，判断当前总价值是否最优：
1> 若cp>bestp，更新当前最优总价值为当前总价值（即bestp=cp），更新
装载方案（即bestx[i]=x[i]( 1≤i≤n)）；
② 采用for循环对物品i装与不装两种情况进行讨论（0≤j≤1）：
1> x[i]=j；
2> 若总重量不大于背包容量（即cw+x[i]*w[i]<=c），则更新当前总价 br=""> 值和总重量（即cw+=w[i]*x[i],cp+=p[i]*x[i]）, 对物品i+1调用递归函
数Backtrack(i+1,cp,cw) 继续进行装载；
3> 函数Backtrack(i+1,cp,cw)调用结束后则返回当前总价值和总重量
（即 cw-=w[i]*x[i],cp-=p[i]*x[i]）；
4> 当j>1时，for循环结束；
③ 当i=1时，若已测试完所有装载方案，外层调用就全部结束；
c. 主函数调用一次backtrack(1,0,0)即可完成整个回溯搜索过程，最终得到的bestp和bestx[i]即为所求最大总价值和最优装载方案。

最后给出代码。很不幸的是我自己没有写出来源码，这个是从网络找到后又经过自己改写的。。。。。技术不够没办法啊

#include<stdio.h>
int n,c,bestp;//物品的个数，背包的容量，最大价值
int p[10000],w[10000],x[10000],bestx[10000];//物品的价值，物品的重量，x[i]暂存物品的选中情况,物品的选中情况

void Backtrack(int i,int cp,int cw)
{ //cw当前包内物品重量，cp当前包内物品价值
    int j;
    if(i>n)//回溯结束
    {
        if(cp>bestp)
        {
            bestp=cp;
            for(i=0;i<=n;i++) bestx[i]=x[i];
        }
    }
    else 
        for(j=0;j<=1;j++)  
        {
            x[i]=j;
            if(i==0) //不放入背包  
            {  
                backtrack(t+1);  
            }  
            else //放入背包  
            { 
                if(cw+x[i]*w[i]<=c)  
                {
                    cw+=w[i]*x[i];
                    cp+=p[i]*x[i];
                    Backtrack(i+1,cp,cw);
                    cw-=w[i]*x[i];
                    cp-=p[i]*x[i];
                }
            }
        }
}
//加粗部分为外部代码
int main()
{
    int i;
    bestp=0; 
    printf("请输入背包最大容量:\n");
    scanf("%d",&c);
    printf("请输入物品个数:\n");
    scanf("%d",&n);
    printf("请依次输入物品的重量:\n");
    for(i=1;i<=n;i++) 
        scanf("%d",&w[i]);
    printf("请依次输入物品的价值:\n");
    for(i=1;i<=n;i++) 
        scanf("%d",&p[i]);
    Backtrack(1,0,0);
    printf("最大价值为:\n");
    printf("%d\n",bestp);
    printf("被选中的物品依次是(0表示未选中，1表示选中)\n");
    for(i=1;i<=n;i++) 
        printf("%d ",bestx[i]);
    printf("\n");
    return 0;
}