矩阵代数

矩阵加法：

矩阵数乘：

共轭转置：


对称矩阵：

 线性函数：

线性函数的平移称为仿射变换：

矩阵乘法：
(AB)的第i行是B的第i行的线性组合，第i列是A的第i列的线性组合。

线性方程组就可写为Ax=b的形式：

 

• AB≠BA
• A^rA^s=A^r+s
• A^rA^s=A^r+s
• (A^r)^s=A^rs
• (AB)^T=B^TA^T
• trace(AB)=trace(BA)   trace(ABC)=trace(BCA)=trace(CAB)

分块矩阵乘法同一般矩阵相乘。
矩阵的逆：
矩阵的逆只对方阵有定义。

二维矩阵的逆：

如果A可逆，则线性方程组AX=B有唯一解为X=A^-1B，Ax=b为x=A^-1b
矩阵的逆存在条件：

矩阵的逆的算法：

复杂度：

 

矩阵的逆的性质：

矩阵的乘积不会增加矩阵的秩,加法不会减少矩阵的秩。

如果A的微小变化会导致A^-1的巨大改变，则为病态制约。
初等矩阵：
定义：

三种初等变换等价于三种初等矩阵，左乘为行变换，右乘为列变换：

当且仅当A可由以上三种初等矩阵的乘积得出时，A可逆。
矩阵等价：

当且仅当rank(A)=rank(B)时，A与B等价。
矩阵与可逆矩阵相乘不会改变秩。