第三篇：导数

us-wjz

导数的定义

导数就是增量比的极限，也就是函数的某点到某点的变化率。

 导数公式与基本求导法则

常数和基本初等函数的导数公式

函数的和、差、积、商的求导法则

from sympy import pprint,diff
from sympy.abc import x
f = 2*x**3 - 5*x**2 + 3*x - 7
df = diff(f,x)
pprint(f)
print()
pprint(df)
View Code 

from sympy import pprint,diff,cos,sin,pi,ln,E
from sympy.abc import x
f = x**3 + 4*cos(x) - sin(pi/2)
df = diff(f,x)
pprint(f)
print()
pprint(df)
print()
pprint(df.subs(x,pi/2))
print()
f2 = ln(x**3+2*x+1)
pprint(diff(f2,x))
View Code

 

from sympy import pprint,diff,cos,sin,pi,ln,exp,sqrt
from sympy.abc import x
f = sqrt(x)*ln(x)
df = diff(f,x)
pprint(f)
print()
print(df)
print(df.simplify()) #表达式化简
print()

print()
f2 = exp(x)*(sin(x)+cos(x))
df2 = diff(f2,x)
print(df2)
print(df2.simplify()) #表达式化简
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高阶导数

导数的应用

函数的单调性

 

from sympy import pprint,diff,cos,sin,pi,ln,exp,sqrt,plot,solve,Piecewise,Eq
from sympy.abc import x
f = 2*x**3 - 9*x**2 + 12*x - 3
df = diff(f)
print(solve(df,x))

from mpl_toolkits.axisartist.axislines import SubplotZero
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib as mpl
import math
import numpy as np
# 设置中文显示
mpl.rcParams[\'font.sans-serif\'] = [\'SimHei\']
mpl.rcParams[\'axes.unicode_minus\'] = False

fig = plt.figure()
ax = SubplotZero(fig, 111)
fig.add_subplot(ax)

for direction in ["xzero", "yzero"]:
    # adds arrows at the ends of each axis
    ax.axis[direction].set_axisline_style("-|>")
    # adds X and Y-axis from the origin
    ax.axis[direction].set_visible(True)

for direction in ["left", "right", "bottom", "top"]:
    # hides borders
    ax.axis[direction].set_visible(False)

X = np.array([i/100 for i in range(-50,300)])
y = np.array([f.subs(x,i) for i in X])
dy = np.array([df.subs(x,i) for i in X])
plt.plot(X,y,\'-b\',label=\'f(x) = 2*x^3 - 9*x^2 + 12*x - 3\')
plt.plot(X,dy,\'-r\',label="f\'(x) = f(x) = 6*x^2 - 18*x + 12")

ax.axis[\'yzero\'].set_label(\'y轴\')
ax.axis[\'xzero\'].set_label(\'x轴\')
tk = [1,2]
plt.xticks(tk)
plt.xlim(-3,3)
plt.legend(loc=\'lower right\')
#生成网格
# plt.grid(True)
plt.show()
View Code

曲线的凹凸性

from sympy import pprint,diff,cos,sin,pi,ln,exp,sqrt,plot,solve,Piecewise,Eq
from sympy.abc import x
f = 3*x**4 - 4*x**3 + 1
df = diff(f,x,x)
print(df)
print(solve(df,x))

from mpl_toolkits.axisartist.axislines import SubplotZero
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib as mpl
import math
import numpy as np
# 设置中文显示
mpl.rcParams[\'font.sans-serif\'] = [\'SimHei\']
mpl.rcParams[\'axes.unicode_minus\'] = False

fig = plt.figure()
ax = SubplotZero(fig, 111)
fig.add_subplot(ax)

for direction in ["xzero", "yzero"]:
    # adds arrows at the ends of each axis
    ax.axis[direction].set_axisline_style("-|>")
    # adds X and Y-axis from the origin
    ax.axis[direction].set_visible(True)

for direction in ["left", "right", "bottom", "top"]:
    # hides borders
    ax.axis[direction].set_visible(False)

X = np.array([i/100 for i in range(-200,200)])
y = np.array([f.subs(x,i) for i in X])
dy = np.array([df.subs(x,i) for i in X])
plt.plot(X,y,\'-b\',label=\'f(x) = 2*x^3 - 9*x^2 + 12*x - 3\')
plt.plot(X,dy,\'-r\',label=\'f(x) = f"(x) = 12*x*(3*x - 2)\')

ax.axis[\'yzero\'].set_label(\'y轴\')
ax.axis[\'xzero\'].set_label(\'x轴\')
tk = [0, 2/3]
plt.xticks(tk)
plt.xlim(-1,3)
plt.legend(loc=\'upper left\')
#生成网格
# plt.grid(True)
plt.show()
View Code

以上例子说明：

from sympy import pprint,diff,cos,sin,pi,ln,exp,sqrt,plot,solve,Piecewise,Eq
from sympy.abc import x
f = x**3 - 6*x**2 + 9*x + 1
df = diff(f,x,x)
print(df)
print(solve(df,x))

from mpl_toolkits.axisartist.axislines import SubplotZero
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib as mpl
import math
import numpy as np
# 设置中文显示
mpl.rcParams[\'font.sans-serif\'] = [\'SimHei\']
mpl.rcParams[\'axes.unicode_minus\'] = False

fig = plt.figure()
ax = SubplotZero(fig, 111)
fig.add_subplot(ax)

for direction in ["xzero", "yzero"]:
    # adds arrows at the ends of each axis
    ax.axis[direction].set_axisline_style("-|>")
    # adds X and Y-axis from the origin
    ax.axis[direction].set_visible(True)

for direction in ["left", "right", "bottom", "top"]:
    # hides borders
    ax.axis[direction].set_visible(False)

X = np.array([i/100 for i in range(-200,500)])
y = np.array([f.subs(x,i) for i in X])
dy = np.array([df.subs(x,i) for i in X])
plt.plot(X,y,\'-b\',label=\'f(x) = 2*x^3 - 9*x^2 + 12*x - 3\')
plt.plot(X,dy,\'-r\',label=\'f"(x) = 6*(x - 2)\')

ax.axis[\'yzero\'].set_label(\'y轴\')
ax.axis[\'xzero\'].set_label(\'x轴\')
tk = [2]
plt.xticks(tk)
plt.xlim(-1,5)
plt.legend(loc=\'upper left\')
#生成网格
# plt.grid(True)
plt.show()
View Code

小结：

通过函数的导数的值，可以判断出函数的单调性、曲线的凹凸性： 若导数大于0，则单调递增；若导数小于0，则单调递减；导数等于 零的点为函数的驻点。 若二阶导数大于0，则曲线是凹的；若二阶导数小于0，则曲线是凸 的；曲线上凹凸性改变的点为曲线的拐点。 如果函数的导函数在某一个区间内恒大于零(或恒小于零)，那么函 数在这个区间单调递增(或单调递减)，这种区间就叫做单调区间；如果 函数的二阶导函数在某一个区间内恒大于零(或恒小于零)，那么曲线在 这个区间是凹的(或凸的)，这种区间就叫做凹凸区间。

穿根法

 函数的极值及其求法

极值存在的第一充分条件

from sympy import pprint,diff,cos,I,sin,pi,ln,exp,sqrt,plot,solve,Piecewise,Eq,Rational,re
from sympy.abc import x
f = (x-1)*x**(2/3)
df = diff(f,x)
print(df.simplify())
print(solve(Eq(df,0),x))

from mpl_toolkits.axisartist.axislines import SubplotZero
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib as mpl
import math
import numpy as np
# 设置中文显示
mpl.rcParams[\'font.sans-serif\'] = [\'SimHei\']
mpl.rcParams[\'axes.unicode_minus\'] = False

fig = plt.figure()
ax = SubplotZero(fig, 111)
fig.add_subplot(ax)

for direction in ["xzero", "yzero"]:
    # adds arrows at the ends of each axis
    ax.axis[direction].set_axisline_style("-|>")
    # adds X and Y-axis from the origin
    ax.axis[direction].set_visible(True)

for direction in ["left", "right", "bottom", "top"]:
    # hides borders
    ax.axis[direction].set_visible(False)

X = np.array([i/100 for i in range(-500,500)])
y = np.array([f.subs(x,i).subs(I,1) for i in X]) #re(f.subs(x,i))用浮点数计算，变取实数。
dy = np.array([df.subs(x,i).subs(I,1) for i in X if i != 0])
print(y)
plt.plot(X,y,\'-b\',label=\'f(x) = (x-1)*x**(2/3)\')
X = np.delete(X,[200])
plt.plot(X,dy,\'-r\',label="f\'(x) = (5*x - 2)/(3*x**(1/3))")
ax.axis[\'yzero\'].set_label(\'y轴\')
ax.axis[\'xzero\'].set_label(\'x轴\')
tk = [0,2/5]
plt.xticks(tk)
plt.xlim(-5,5)
plt.legend(loc=\'upper left\')
#生成网格
# plt.grid(True)
plt.show()
print(df.subs(x,-1))
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极值存在的第二充分条件

from sympy import pprint,diff,cos,I,sin,pi,ln,exp,sqrt,plot,solve,Piecewise,Eq,Rational,re
from sympy.abc import x
f = x**3 + 3*x**2 - 24*x - 20
df = diff(f,x)
ddf = diff(df,x)
print(ddf.simplify())
print(solve(Eq(df,0),x))

from mpl_toolkits.axisartist.axislines import SubplotZero
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib as mpl
import math
import numpy as np
# 设置中文显示
mpl.rcParams[\'font.sans-serif\'] = [\'SimHei\']
mpl.rcParams[\'axes.unicode_minus\'] = False

fig = plt.figure()
ax = SubplotZero(fig, 111)
fig.add_subplot(ax)

for direction in ["xzero", "yzero"]:
    # adds arrows at the ends of each axis
    ax.axis[direction].set_axisline_style("-|>")
    # adds X and Y-axis from the origin
    ax.axis[direction].set_visible(True)

for direction in ["left", "right", "bottom", "top"]:
    # hides borders
    ax.axis[direction].set_visible(False)

X = np.array([i/100 for i in range(-500,500)])
y = np.array([f.subs(x,i) for i in X]) #re(f.subs(x,i))用浮点数计算，变取实数。
dy = np.array([df.subs(x,i) for i in X])
ddy = np.array([ddf.subs(x,i) for i in X])
plt.plot(X,y,\'-b\',label=\'f(x) = x**3 + 3*x**2 - 24*x - 20\')
plt.plot(X,dy,\'-r\',label="f\'(x) = 3*x**2 + 6*x - 24")
plt.plot(X,ddy,\'-g\',label=\'f"(x) = 6*x + 6\')
plt.plot(np.array([-4,-4]),np.array([-50,65]),linestyle=\'--\',color=\'gray\')
plt.plot(np.array([2,2]),np.array([-50,65]),linestyle=\'--\',color=\'gray\')

ax.axis[\'yzero\'].set_label(\'y轴\')
ax.axis[\'xzero\'].set_label(\'x轴\')
tk = [-4, 2]
plt.xticks(tk)
plt.xlim(-5,5)
plt.legend(loc=\'upper left\')
#生成网格
# plt.grid(True)
plt.show()
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求极值的步骤:

 

函数的最大值、最小值问题

 

 

from sympy import diff,plot,solve,Eq,cos,sin
from sympy.abc import x,u
from sympy.plotting import plot_parametric
y = 2*x**3 + 3*x**2 - 12*x + 14
dy = diff(y,x)
pointList = [-3,4]+solve(Eq(dy,0),x)
results = [y.subs(x,i) for i in pointList]
plot(y,(x,-3,4),axis_center=(0.0,0.0),line_color=(1.0,0.0,0.0),title=\'y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 14\')
print(\'最大值是：{}\'.format(max(results)))
print(\'最小值是：{}\'.format(min(results)))
print(solve(dy,x))
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说明：

练习一

 

from sympy import diff,plot,solve,Eq,cos,sin,pi,pprint
from sympy.abc import x,V,r
from sympy.plotting import plot_parametric
S = 2*pi*r**2 + 2*V/r
dS = diff(S,r)
print(dS.simplify())
print(solve(dS,r)[0])
View Code 

from sympy import diff,plot,solve,Eq,cos,sin,pi,pprint,Symbol
a = Symbol(\'a\',positive=True)
x = Symbol(\'x\',positive=True)
V = x*(a-2*x)**2
dV = diff(V,x)
d2V = diff(dV,x)
print(dV.simplify())
print(d2V.simplify())
sol = solve(dV,x)
for i in sol:
    if 0 < i < a/2:
        res = d2V.subs(x,i)
        if res < 0:
            print(\'当x = {}时，V有最大值：{}\'.format(i,V.subs(x,i)))
            break
else:
    print(\'无解\')
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Taylor公式

Taylor(泰勒)公式是用一个函数在某点的信息描述其附近取值的公式。 如果函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下， Taylor公式可以利用这些导数值来做系数构建一个多项式近似函数在这 一点的邻域中的值。

多项式是最简单的一类初等函数. 所以在数值计算方面，多项式是人们乐于 使用的工具. 加减法和乘法， 因此我们经常用多项式来近似表达函数.

 以  f(x) = cos(x)  的近似计算为例.

一次（线性）逼近

二次逼近

八次逼近

找的多项式应满足什么条件，误差是什么？

 

综上所述

泰勒（Taylor）公式

Taylor公式-余项

from sympy import series,exp,pprint,Symbol,re,sin,pi,O,Order
x = Symbol(\'x\',real=True)
f = exp(x).series(x,0,10)
#令x = 1
i = Order(x**10)
print(f)
print(f.subs([(O(x**10),0),(x,1)]).evalf())
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几个常见的初等函数的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式

from sympy import I,exp,E,pi,S,Symbol,expand,Function,Eq,pprint,re,im,cos,sin,series
print(E**(I*pi)+1)
#欧拉的宇宙公式
print((exp(I*pi)+1).equals(0))

\'\'\'求证：exp(I*pi)=cos(x) + I*sin(x)\'\'\'
x = Symbol(\'x\',real=True) #指定x是实数
f = exp(I*x)
print(f.expand(complex=True))
print()

#泰勒展开
fs = f.series(x,x0=0,n=10)
print(\'exp(I*x)泰勒展开：{}\'.format(fs))
print(\'I*sin(x) + cos(x)泰勒展开：{}\'.format(series(I*sin(x) + cos(x),x,x0=0,n=10)))
print()

#取实部
print(re(fs))
print(cos(x).series(x,x0=0,n=10))
print()
#取虚部
print(im(fs))
print((sin(x).series(x,x0=0,n=10)))
View Code 

from sympy import I,exp,E,pi,S,Symbol,expand,Function,Eq,pprint,re,im,cos,sin,series
x = Symbol(\'x\',real=True)
m = Symbol(\'m\',real=True)
print(series(1/(1-x),x,x0=0,n=10))
print()
print(series((1+x)**m,x,x0=0,n=6).simplify())
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多元函数

二元函数的定义

from sympy import I,exp,E,pi,S,Symbol,cos,sin,series,plot,sqrt
from sympy.plotting import plot3d
x = Symbol(\'x\',real=True)
y = Symbol(\'m\',real=True)
r = Symbol(\'r\')
plot3d(sqrt(1-x**2-y**2),(x,-1,1),(y,-1,1))
plot3d(sin(x*y),(x,-2.5,2.5),(y,-2.5,2.5))
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多元函数的极限

多元函数偏导数

对于三元函数 u = f (x, y, z)可类似

from sympy import I,diff,Symbol
from sympy.plotting import plot3d
x = Symbol(\'x\',real=True)
y = Symbol(\'y\',real=True)
f = x**2 + 3*x*y + y**2
dx = diff(f,x)
dy = diff(f,y)
print(dx)
print(dy)
print(dx.subs([(x,1),(y,2)]))
print(dy.subs([(x,1),(y,2)]))
print(diff(f,x,y))
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高阶偏导数

类似可以定义更高阶的偏导数 

多元函数的极值和最值

必要条件

充分条件

求二元函数z = f (x, y)极值的一般步骤

 求二元函数最值的一般方法

拉格朗日乘数法

from sympy import linsolve,symbols,diff,solve,E,Wild
r,x,y,z,V = symbols(\'r,x,y,z,V\',real=True)
f = 2*(x*y+y*z+z*x) + r*(x*y*z-V)
f2 = V/(x*y)
dx = diff(f,x)
rs = solve([dx],r)
dz = diff(f,z).subs([(r,rs[r]),(z,f2)])
ys = solve(dz,y)
dy = diff(f,y).subs([(r,rs[r]),(z,f2),(y,ys[0])])
print(solve(dy,x)[0])
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方向导数与梯度

向量的运算

from sympy.vector import CoordSys3D,matrix_to_vector
from sympy import Matrix,acos,asin,rad,pi,deg,sin,plot,sin,cos
from sympy.abc import x
C = CoordSys3D(\'C\')
#表示向量只能用坐标系对象的i,j,k表示，不能用它的x,y,z表示，它们代表是x轴，y轴，z轴。
#i代表是x轴方向的坐标向量，j表示y轴方向的，k表示z轴方向的。
a = C.i + 2*C.j #在一个坐标系上一个向量的表示，一般按照i,j,k的顺序xie
b = -6*C.i + C.j
print(\'a向量的向量坐标：{}\'.format(tuple(a.components.values())))
print(\'a向量的模：{}\'.format(a.magnitude()))
print(\'把a向量转为单位向量：{},转化后的大小：{}\'.format(a.normalize(),a.normalize().magnitude()))
print(\'把向量a转为矩阵：{}\'.format(a.to_matrix(C)))
print()

#向量的运算
c = a+b #向量的加法
d = a-b #向量的减法
f = a&b #向量的数量积（点积、内积），用函数表示：a.dot(b)
j = a^b #叉积，a.cross(b)
k = a.outer(b) #外积
print(\'a-b = {}；坐标：{}\'.format(a-b,(a-b).components.values()))
print(\'a+b = {}；坐标：{}\'.format(a+b,(a+b).components.values()))
print(\'a.b = {}\'.format(f))
print(\'向量a与向量b的夹角（角度）是：{}\'.format(deg(acos(f/(a.magnitude()*b.magnitude()))).evalf()))
print(\'a*b = {}\'.format(j))
print()
#矩阵转为向量。
m = Matrix([1,2])
v = matrix_to_vector(m,C)
print(\'矩阵m转为向量：{}\'.format(v))
print(\'向量的模：{}\'.format(m.norm()))
print(\'标准化矩阵：{}\'.format(m.normalized()))
print(v.to_matrix(C))
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正交向量

方向角与方向余弦

from sympy.vector import CoordSys3D,matrix_to_vector
from sympy import Matrix,acos,rad,pi,deg,vector,sqrt,solve,Eq,pprint
# init_printing(pretty_print=True)d
C = CoordSys3D(\'C\')
#表示向量只能用坐标系对象的i,j,k表示，不能用它的x,y,z表示，它们代表是x轴，y轴，z轴。
#i代表是x轴方向的坐标向量，j表示y轴方向的，k表示z轴方向的。
l = (1-2)*C.i + (3-2)*C.j + (0-sqrt(2))*C.k #在一个坐标系上一个向量的表示，一般按照i,j,k的顺序xie
print(\'与向量l同方向的单位向量：{}\'.format(l/l.magnitude()))
lc = (l/l.magnitude()).components
print(\'与向量l同方向的单位向量的坐标：{}\'.format(lc))
print(\'方向余弦：cos(alpha) = {}；cos(beta) = {}；cos(gamma) = {}\'.format(lc[C.i],lc[C.j],lc[C.k]))
print(\'方向角：alpha = {}；beta = {}；gamma = {}\'.format(acos(lc[C.i]),acos(lc[C.j]),acos(lc[C.k])))
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方向导数

from sympy.vector import CoordSys3D,matrix_to_vector
from sympy import Matrix,acos,rad,pi,deg,vector,sqrt,solve,Eq,pprint,E,diff
from sympy.abc import x,y
C = CoordSys3D(\'C\')
#表示向量只能用坐标系对象的i,j,k表示，不能用它的x,y,z表示，它们代表是x轴，y轴，z轴。
#i代表是x轴方向的坐标向量，j表示y轴方向的，k表示z轴方向的。
z = x*E**(2*y) #在一个坐标系上一个向量的表示，一般按照i,j,k的顺序xie
dx = diff(z,x)
dy = diff(z,y)
l = (2-1)*C.i+(-1-0)*C.j
e = (l/l.magnitude()).components
dl = dx*e[C.i] + dy*e[C.j]
pprint(dl.subs([(x,1),(y,0)]))
View Code 

from sympy.vector import CoordSys3D,matrix_to_vector
from sympy import Matrix,acos,rad,pi,deg,vector,sqrt,solve,Eq,pprint,E,diff
from sympy.abc import x,y,z
C = CoordSys3D(\'C\')
#表示向量只能用坐标系对象的i,j,k表示，不能用它的x,y,z表示，它们代表是x轴，y轴，z轴。
#i代表是x轴方向的坐标向量，j表示y轴方向的，k表示z轴方向的。
u = x**2*y*z #在一个坐标系上一个向量的表示，一般按照i,j,k的顺序xie
dx = diff(u,x)
dy = diff(u,y)
dz = diff(u,z)
l = 2*C.i+(-1)*C.j+3*C.k
e = (l/l.magnitude()).components
dl = dx*e[C.i] + dy*e[C.j] + dz*e[C.k]
pprint(dl.subs([(x,1),(y,1),(z,1)]))
View Code 

from sympy.vector import CoordSys3D,matrix_to_vector,directional_derivative
from sympy import Matrix,cos,rad,pi,deg,vector,sqrt,solve,Eq,pprint,E,diff,factor
from sympy.abc import x,y,z
C = CoordSys3D(\'C\')
#表示向量只能用坐标系对象的i,j,k表示，不能用它的x,y,z表示，它们代表是x轴，y轴，z轴。
#i代表是x轴方向的坐标向量，j表示y轴方向的，k表示z轴方向的。
u = x*y + y*z + z*x #在一个坐标系上一个向量的表示，一般按照i,j,k的顺序xie
dx = diff(u,x)
dy = diff(u,y)
dz = diff(u,z)
e = (cos(rad(60))*C.i + cos(rad(45))*C.j + cos(rad(60))*C.k).components
dl = dx*e[C.i] + dy*e[C.j] + dz*e[C.k]
print(dl)
pprint(factor(dl.subs([(x,1),(y,1),(z,2)])))

#直接调用sympy的directional_derivative
e2 = cos(rad(60))*C.i + cos(rad(45))*C.j + cos(rad(60))*C.k
u2 = C.x*C.y + C.y*C.z +C.z*C.x
dl = directional_derivative(u2,e2)
print(dl.simplify())
pprint(factor(dl.subs([(C.x,1),(C.y,1),(C.z,2)])))
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梯度(gradient)的概念及计算

在空间的每一个点都可以确定无限多个方向, 因此, 导数. 在这无限多个方向导数中, 最大的一个(它直接 反映了函数在这个点的变化率的数量级)等于多少? 一个多元函数在某个点也必然有无限多个方向 它是沿什么方向达到的? 描述这个最大方向导数及其 所沿方向的矢量, 就是我们下面讨论的梯度. 梯度是 场论里的一个基本概念. 所谓“场” , 它表示空间区域 上某种物理量的一种分布. 从数学上看, 这种分布常常 表示为  上的一种数值函数或向量函数. 能表示为数 值函数u = u(x, y, z) 的场, 称为数量场,如温度场、密度场等.

 方向导数公式

梯度定义

from sympy.vector import CoordSys3D,matrix_to_vector,directional_derivative,gradient,Del
from sympy import Matrix,cos,rad,pi,deg,vector,sqrt,solve,Eq,pprint,E,diff,factor
from sympy.abc import x,y,z
C = CoordSys3D(\'C\')
#表示向量只能用坐标系对象的i,j,k表示，不能用它的x,y,z表示，它们代表是x轴，y轴，z轴。
#i代表是x轴方向的坐标向量，j表示y轴方向的，k表示z轴方向的。
u = 1/(C.x**2+C.y**2) #在一个坐标系上一个向量的表示，一般按照i,j,k的顺序xie
delop = Del()
print(delop.gradient(u).doit())
print(gradient(u))
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from sympy.vector import CoordSys3D,matrix_to_vector,directional_derivative,gradient,Del
from sympy import Matrix,cos,rad,pi,deg,vector,sqrt,solve,Eq,pprint,E,diff,factor
from sympy.abc import x,y,z
C = CoordSys3D(\'C\')
#表示向量只能用坐标系对象的i,j,k表示，不能用它的x,y,z表示，它们代表是x轴，y轴，z轴。
#i代表是x轴方向的坐标向量，j表示y轴方向的，k表示z轴方向的。
u = C.x**3 - C.x*C.y**2 - C.z #在一个坐标系上一个向量的表示，一般按照i,j,k的顺序xie
df = gradient(u)
du = df.subs([(C.x,1),(C.y,1),(C.z,0)])
print(\'在向量：{} 方向；增加最快，变化率：{}\'.format(du,du.magnitude()))
print(\'在向量：{} 方向；减小最快，变化率：{}\'.format(-du,-du.magnitude()))
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