线性代数随笔（三）：向量内积的几何意义

考察$\boldsymbol u\cdot\boldsymbol y$的几何意义。

把向量$\boldsymbol y$拆成两个分量：$\boldsymbol y=\boldsymbol{\hat y}+\boldsymbol z$。其中$\boldsymbol{\hat y}=\alpha\boldsymbol u$是$\boldsymbol y$在$\boldsymbol u$上的射影，$\boldsymbol z$是$\boldsymbol y$垂直于$\boldsymbol u$的分量。

所以$0=\boldsymbol z\cdot\boldsymbol u=(\boldsymbol y-\alpha\boldsymbol u)\boldsymbol u=\boldsymbol y\cdot\boldsymbol u-\alpha\boldsymbol u\cdot\boldsymbol u$

即$\alpha=\frac{\boldsymbol y\cdot\boldsymbol u}{\boldsymbol u\cdot\boldsymbol u}$

那么$\boldsymbol{\hat y}=\frac{\boldsymbol y\cdot\boldsymbol u}{\boldsymbol u\cdot\boldsymbol u}\boldsymbol u=\frac{\boldsymbol y\cdot\boldsymbol u}{||\boldsymbol u||^2}\boldsymbol u=(y\cdot\frac{\boldsymbol u}{||\boldsymbol u||})\frac{\boldsymbol u}{||\boldsymbol u||}=(\boldsymbol y\cdot\boldsymbol{u_0})\boldsymbol{u_0}=p\boldsymbol{u_0}$

其中$\boldsymbol{u_0}$是$\boldsymbol u$方向上的单位向量，$p=\boldsymbol y\cdot\boldsymbol{u_0}$是$\boldsymbol y$在$\boldsymbol u$上的射影的长度。

$\boldsymbol y\cdot\boldsymbol{u}=p||\boldsymbol u||$，代表$\boldsymbol y$在$\boldsymbol u$上的射影的长度乘上$\boldsymbol u$本身的长度。