【矩阵乘法】[NOI2013]向量内积

题目描述

两个 d 维向量 A=[a1,a2,…,ad] 与 B=[b1,b2,…,bd] 的内积为其相对应维度的权值的乘积和，即：

⟨ A, B ⟩ = \sum i = 1 d a i b i = a 1 b 1 + a 2 b 2 + \dots + a d b d

现在有 n 个 d 维向量 x1,x2,…,xn，小喵喵想知道是否存在两个向量的内积为 k 的倍数。请帮助她解决这个问题。

输入格式

第一行包含 3 个正整数 n,d,k，分别表示向量的个数，维数以及待检测的倍数。

接下来 n 行每行有 d 个非负整数，其中第 i 行的第 j 个整数表示向量 xi 的第 j 维权值 xi,j。

输出格式

包含两个整数，用空格隔开。

如果存在两个向量 xp,xq 的内积为 k 的整数倍，则输出两个向量的编号 p 与 q （要求 p<q）。如果存在多组这样的向量组合，输出其中任意一组即可。

若不存在这样的向量组合，则输出两个 −1。

样例一

input

output

2 3

explanation

⟨x1,x2⟩=1，⟨x1,x3⟩=1，⟨x2,x3⟩=2。

限制与约定

测试点编号	n	d	k	xi,j
1	2	20	2	≤10
2	5	20	2	≤10
3	10	20	3	≤10
4	20	20	2	≤100
5	50	20	3	≤100
6	50	50	2	≤1000
7	50	50	3	≤3000000
8	80	80	2	≤3000000
9	100	100	3	≤3000000
10	500	100	3	≤3000000
11	1000	100	2	≤3000000
12	1000	100	3	≤3000000
13	10000	100	2	<10
14	10000	100	3	<10
15	15000	100	2	<10
16	18000	100	2	<10
17	20000	100	2	<10
18	50000	30	3	<10
19	80000	30	3	<10
20	100000	30	3	<10

时间限制：5s

空间限制：256MB

分析

注意:以下运算都在模k意义下

k=2

我们把这些向量看成一个n×d的矩阵A

A = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ x 1, 1 x 2, 1 ⋮ x n, 1 x 1, 2 x 2, 2 ⋮ x n, 2 x 1, 3 x 2, 3 ⋮ x n, 3 \dots \dots ⋱ \dots x 1, d x 2, d ⋮ x n, d ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

A的转置矩阵

AT=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢x1,1x1,2⋮x1,nx2,1x2,2⋮x2,nx3,1x3,2⋮x3,n⋯⋯⋱⋯xn,1xn,2⋮xnn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥

令B=A×AT，那么bi,j就表示xi⋅xj，如果B矩阵除了主对角线全部是1的话，显然无解。
但是求出B矩阵的时间显然是O(n2d)，显然是无法通过本题的。
我们令B′为bi,i=xi⋅xi，其余元素为1的矩阵。
如果B=B′的话，就无解。
我们再随机找出一个列向量C (其实就是全是1，因为0没用。。。)

B \times C = B' \times C A \times A T \times C = B' \times C A \times (A T \times C) = B' \times C

D=AT×C我们可以用O(nd)的时间求出来，A×D也可以用O(nd)的时间求出来，B′×C可以O(n)求出。
然后比较A×(AT×C) B′×C这两个列向量的每一个元素是否相同，如果第i行的元素不相同，说明xi肯定是答案只要，枚举找出xj即可。
尽管有出错的概率，但是这个算法还是比较可靠的。

k=3

我们发现

1 \times 1 \equiv 2 \times 2 \equiv 1 (mod 3)

所以，我们令

B=(A∗AT)2其余矩阵定义不变，那么展开后会发现

A' = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ x 1, 1 \times x 1, 1 x 2, 1 \times x 2, 1 ⋮ x n, 1 \times x n, 1 x 1, 1 \times x 1, 2 x 2, 1 \times x 2, 2 ⋮ x n, 1 \times x n, 2 x 1, 1 \times x 1, 3 x 2, 1 \times x 2, 3 ⋮ x n, 1 \times x n, 3 \dots \dots ⋱ \dots x 1, 1 \times x 1, d x 2, 1 \times x 2, d ⋮ x n, 1 \times x n, d x 1, 2 \times x 1, 1 x 2, 2 \times x 2, 1 ⋮ x n, 2 \times x n, 1 x 1, 2 \times x 1, 2 x 2, 2 \times x 2, 2 ⋮ x n, 2 \times x n, 2 \dots \dots ⋱ \dots x 1, d \times x 1, d x 2, d \times x 2, d ⋮ x n, d \times x n, d ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ B = A' \times A' T

然后参考

k=2的算法即可，由于

k=3时矩阵太大，内存开不下，但是算的时候按照规则算就行了。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 100000
#define MAXM 100
int n,d,k,a[MAXN+10][MAXM+10],s[MAXN+10],c[MAXM*MAXM+10],g[MAXN+10];
void Read(int &x){
    char c;
    while(c=getchar(),c!=EOF)
        if(c>=\'0\'&&c<=\'9\'){
            x=c-\'0\';
            while(c=getchar(),c>=\'0\'&&c<=\'9\')
                x=x*10+c-\'0\';
            ungetc(c,stdin);
            return;
        }
}
int Get_id(int i,int j){
    return (i-1)*d+j;
}
void read(){
    Read(n),Read(d),Read(k);
    int i,j;
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=d;j++){
            Read(a[i][j]);
            a[i][j]%=k;
            s[i]+=a[i][j]*a[i][j];
        }
    for(i=1;i<=n;i++)
        s[i]%=k;
}
void solve2(){
    int i,j,k,sum;
    for(i=1;i<=d;i++)
        for(j=1;j<=n;j++)
            c[i]^=a[j][i];
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=d;j++)
            g[i]^=a[i][j]&c[j];
    for(i=1;i<=n;i++)
        if(g[i]!=(s[i]^((n-1)&1)))
            break;
    if(i>n){
        puts("-1 -1");
        return;
    }
    for(j=1;j<=n;j++)
        if(i!=j){
            sum=0;
            for(k=1;k<=d;k++)
                sum^=a[i][k]&a[j][k];
            if(!sum)
                break;
        }
    if(i>j)
        swap(i,j);
    printf("%d %d\n",i,j);
}
void solve3(){
    int i,j,k,sum;
    for(i=1;i<=d;i++)
        for(j=1;j<=d;j++)
            for(k=1;k<=n;k++)
                c[Get_id(i,j)]+=a[k][i]*a[k][j];
    for(i=d*d;i;i--)
        c[i]%=3;
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=d;j++)
            for(k=1;k<=d;k++)
                g[i]+=a[i][j]*a[i][k]*c[Get_id(j,k)];
    for(i=1;i<=n;i++)
        if(g[i]%3!=((n-1)+s[i]*s[i])%3)
            break;
    if(i>n){
        puts("-1 -1");
        return;
    }
    for(j=1;j<=n;j++)
        if(j!=i){
            sum=0;
            for(k=1;k<=d;k++)
                sum=(sum+a[i][k]*a[j][k])%3;
            if(!sum)
                break;
        }
    if(i>j)
        swap(i,j);
    printf("%d %d\n",i,j);
}
int main()
{
    read();
    if(k==2)
        solve2();
    else
        solve3();
}