对数化时解释线性回归模型

正如标题所暗示的，有很多关于如何在变量被对数化时解释模型的好文章。

1. 什么时候对数比较适合数据？
2. %有很多近似的解释，所以不近似的解释

   我发现下面的文章作为总结很有用。

   概括

   数据趋势

   	X	日志（x）应该做
   是的
   对数（y）是好的

   解释

   	X	日志（x）
   是的	当 x 增加 1 时，y 增加 β	当 n 为任意值且 x 乘以 n 时，y 增加 βlog(n)
   日志（y）	当 x 增加 1 时，y 变为 exp(β) 次	如果 n 是任意值并且 x 乘以 n，则 y 乘以 n^β

   如果日志（x）

   如果我们只记录 $x$ 并假设 $y = \alpha + \beta\log(x)$。

   数据趋势

   对数 $x$ 非常适合数据趋势，例如：
   如下图所示，$y$ 在变量变换后变为以 $\mu$ 为中心的等方差的正态分布。
   

   解释回归系数

   $y = \alpha + \beta\log(x)$，所以
   $y_0 = \alpha + \beta\log(x)$,
   $y_1 = \alpha + \beta\log(x\times n)$, $n$ 作为任意值
   求解 $y_1-y_0$。

   \begin{align}
   y_1-y_0 &= \alpha + \beta\log(x\times n) -(\alpha + \beta\log(x)) \\
   &= \beta\log(x\times n) - \beta\log(x)\\
   &= \beta\log\left(\frac{x\times n}{x}\right)\\
   &= \beta\log(n)
   \end{align}
   

   因此，将 $x$ 乘以 $n$ 会使 $y$ 增加 $\beta\log(n)$。可以解释为
   例如，如果$\beta=5，n=2$，$log(n)\risingdotseq 0.693$，那么
   将 $x$ 加倍会使 $y$ 增加 $5×0.693\risingdotseq3.466$。可以解释为

   对于日志（y）

   如果我们只记录 $y$ 并假设 $ \log(y) = \alpha + \beta x$ 。

   数据趋势

   对数 $y$ 非常适合数据趋势，例如：
   

   解释回归系数

   $\log(y) = \alpha + \beta x$，所以
   $\log(y_0) = \alpha + \beta x$,
   如 $\log(y_1) = \alpha + \beta (x+1)$
   求解 $\log(y_1)-\log(y_0)$。

   \begin{align}
   \log(y_1)-\log(y_0) &= \alpha + \beta (x+1) - (\alpha + \beta x) \\
   \log(y_1)-\log(y_0) &= \beta\\ 
   \log\left(\frac{y_1}{y_0}\right) &=\beta,\\ 
   \frac{y_1}{y_0} &= exp(\beta)
   \end{align}
   

   也就是说，当 $x$ 增加 1 时，$y$ 变为 $exp(\beta)$ 倍。可以解释为

   当 log(x), log(y)

   两者都是对数并假设 $ \log(y) = \alpha + \beta \log(x)$ 。

   数据趋势

   $x, y$ 的对数非常适合以下数据趋势：
   

   解释回归系数

   $\log(y) = \alpha + \beta\log(x)$，所以
   $\log(y_0) = \alpha + \beta\log(x)$,
   $\log(y_1) = \alpha + \beta\log(x\times n)$，其中 $n$ 是任意值
   求解 $\log(y_1)-\log(y_0)$。

   \begin{align}
   \log(y_1)-\log(y_0)&= \alpha + \beta\log(x\times n) -(\alpha + \beta\log(x)) \\
   &= \beta\log(x\times n) - \beta\log(x)\\
   &= \beta\log\left(\frac{x\times n}{x}\right)\\
   &= \beta\log(n)\\
   &= \log(n^\beta)\\
   \log\left(\frac{y_1}{y_0}\right)&= \log(n^\beta)\\
   \frac{y_1}{y_0}&= n^\beta
   
   \end{align}
   

   因此，将 $x$ 乘以 $n$ 将使 $y$ 乘以 $n^\beta$。可以解释为

   就这样

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