组合数学小知识点总结

主要填补知识漏洞：

一、母函数分析法

（1）普通母函数

在考虑“当投掷n粒骰子时，加起来点数总和等于m的可能方式的数目”这个问题时首先使用了母函数方法，并得出可能的数目是 $组合数学小知识点总结$ 的展开式中 $组合数学小知识点总结$ 项的系数。

典型模型：砝码称重

特点：求某个解权重之和的解数

例题：有1,2,3g的砝码各一个，称出质量为3的砝码，有几种组合方法。

G(x)=(1+x)(1+x^2)(1+x^3) 答案是x^3的系数。因为幂函数相乘指数相加。

拓展：若是3种砝码有无数种

G(x)=(1+x+x^2+x^3+x^4....)(1+x^2+x^4+x^6....)(1+x^3+x^6+x^9...) 同样答案是x^3的系数。

例题：HDU2082 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2082

AC代码：

 1 /*HDU2082
 2 普通型母函数
 3 题目：假设有x1个字母A， x2个字母B,..... x26个字母Z，同时假设字母A的价值为1，字母B的价值为2,..... 字母Z的价值为26。那么，对于给定的字母，可以找到多少价值<=50的单词呢？
 4 G(x)=(1+x+x^2+x^3...x^x1)(1+x^2+x^4+...x^(x2^2))(1+x^3....)
 5 答案就是G(x)展开后的指数小于等于50的项的常数系数之和
 6 */
 7 #include <cmath>
 8 #include <algorithm>
 9 #include <stdlib.h>
10 #include <iostream>
11 #include <string.h>
12 #include <stdio.h>
13 #include <stack>
14 #include <set>
15 #include <map>
16 #include <vector>
17 #define LL long long
18 #define maxn 77
19 using namespace std;
20 LL T;
21 LL a[maxn],b[maxn];
22 
23 int main(){
24     cin>>T;
25     while(T--){
26         memset(a,0,sizeof(a));
27         memset(b,0,sizeof(b));
28         a[0]=1;
29         for(int i=1;i<=26;i++){
30             int t;
31             cin>>t;
32             if (t==0) continue;
33             for(int j=0;j<=50;j++){
34                 for(int k=0;k+j<=50 && k<=t*i;k+=i){
35                     b[j+k]+=a[j]*1;
36                 }
37             }
38             for(int i=0;i<=50;i++) a[i]=b[i];
39             memset(b,0,sizeof(b));
40         }
41         LL ans=0;
42         for(int i=1;i<=50;i++) ans+=a[i];//注意x的下限
43         cout<<ans<<endl;
44     }
45     return 0;
46 }

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