1、定理内容
Dedekind切割定理：设是实数集的一个切割，则或者有最大数，或者有最小数。
2、证明过程
设是中所有有理数所构成的集合，是中所有有理数所构成的集合
从而构成一个有理数集的切割
有三种情况：
（1）中有最大数，中无最小数
（2）中无最大数，中有最小数
（3）中无最大数，中无最小数
对于情况（1）：
下证也是的最大数，而没有最小数
反证，假设不是的最大数，设是的最大数
由有理数的稠密性知，在中必存在有理数
由知，而，与是的最大数矛盾
从而是的最大数 //不是的最大数的反面为什么不考虑无最大数
对于情况（2）：
类似可知没有最大数，的最小数为
对于情况（3）：
切割确定无理数，，有
由于，从而要么，要么
若，下证是的最大数
反证，若不是的最大数，设的最大数是
在中存在有理数，由于，故
又因为，从而，矛盾
故是的最大数
类似的，若，则是的最小数
综上所述，若是实数集的一个切割，则或者有最大数，或者有最小数。 #