有限偏序集必有最大元

若$X$是一个有限偏序集，则$X$必有最大元.

证明：当$X$为有限集时，我先使用数学归纳法证明$X$必有最大元.

当$X$是单元素集时，$X=\{x_0\}$.$x_0$是$X$的最大元,这是因为不存在$x\in\{x_0\}$,使得$x_0\prec x$.否则$x_0\prec x_0$,矛盾.

假设$X$有$n$个元素时，$X$有最大元.当$X$有$n+1$个元素时，设$X=\{x_0,\cdots,x_n,x_{n+1}\}$.根据假设，$\{x_0,\cdots,x_n\}$中必有一个或多个最大元，记其中一个为$k$，若$x_{n+1}\prec k$,则$k$是$X$的最大元.若$k\prec x_{n+1}$,则$x_{n+1}$是$X$的最大元.若$x_{n+1}$和$k$无关，则$k$仍然是$X$的最大元.

根据数学归纳法，可见，对于任何有限偏序集$X$,$X$都有最大元.

注:同理可证有限偏序集必有最小元.再加上全序集最多只有一个最小元，所以有限全序集是良序集.