一个服从F分布的随机变量是利用如下两个随机变量的比值来定义的:
*
(有着自由度n的卡方分布）
*
(有着自由度m的卡方分布）
* X, Y 相互独立
联合概率密度函数
因为X, Y相互独立，所以它们的联合概率密度函数
就是它们各自的PDF的乘积，又因为X,Y是服从卡方分布的随机变量，所以我们有:
累积分布函数
对于任意给定的正数z, 我们可以通过定义P{X/Y < z}来计算F'分布的累积分布函数
X, Y为联合概率密度函数
的两个随机变量。 根据联合概率密度函数的定义
一个服从F分布的随机变量是利用如下两个随机变量的比值来定义的:
* (有着自由度n的卡方分布）
* (有着自由度m的卡方分布）
* X, Y 相互独立
联合概率密度函数
因为X, Y相互独立，所以它们的联合概率密度函数就是它们各自的PDF的乘积，又因为X,Y是服从卡方分布的随机变量，所以我们有:
累积分布函数
对于任意给定的正数z, 我们可以通过定义P{X/Y < z}来计算F'分布的累积分布函数
X, Y为联合概率密度函数的两个随机变量。 根据联合概率密度函数的定义
由此可以看出，{X,Y}被定义在区域 x/y < z， y的范围在0到正无穷，x的区域被限制为0到yz。
我们并不关心真正的累积分布函数F'，而是它对z的导数也就是我们需要的概率密度函数。它的内部积分的上极限仅依赖于z的函数yz，
根据原函数定理
也即:
看到这里，我们发现这个函数是Gamma函数一族的
设y(z + 1)/2 = t， 则dy = 2.dt / (z + 1). 替换入方程有
我们实际上需要的是F = F'.(m/n)，而不是F'， 所以我们用 zn/m替换z来得到F
而
所以我们得到:
众数:
n = 1时:
n = 2时:
n = n;
y具有以下形式
* a = (n - 2)/2
* b = m/n
* c = (n + m)/2
y 有着 u/v 这样的形式，它的导数是(uv' - u' v)/v²， 我们仅关注导数为0的极值情况，也就是uv' = u' v
然后算得 : x = ab/( c - a)
将a, b 和 c代入上式有
得到众数的通项公式为 
F分布的一阶矩
F = ( X/n)/(Y/m )
令 x = 2t， 则有 dx = 2dt，
而
，所以上式为
再来看第二项积分
令y = 2t dy = 2dt 有
所以得到
二阶矩
令x = 2t然后有
得到
第二项积分
所以二阶矩为
F分布的方差
Var( F) = E [F²] - E[F]²
根据以上结果可以得到:
得到均值和方差的第二种方法:
首先让我们了解一下形如
的递归积分，α 和 β都是正数，且β > α + 2
第一种递归关系:
第二种递归关系:
|
|
u = x α
|
然后 u' = α xα -1
|
|
|
v = n-1 (1 - β) -1( nx + m)1- β
|
然后 v' = (nx + m) - β
|
根据分布积分公式有
也就是
现在来计算参数K，
* α = n/2 - 1
* β = (n + m)/2
同理可算得二阶矩为: