递归集与递归可枚举集

上文中我们讨论了全函数和部分函数，以及计算的可终止性。
本文我们从数论函数开始，给原始递归函数集增加一种新的运算，得到了一个更大的集合。
然后根据递归函数，我们可以定义递归集和递归可枚举集，
为以后讨论可计算性与可判定性打好基础。

自然数集一般记为

为什么讨论数论函数呢，其一是因为它是一个典型数学的问题，
另外一点，则是因为我们经常把其他数学问题转换成数论问题，例如，哥德尔编码。
本文中，使用数论函数，可以简化我们的描述方式。

一个谓词，指的是返回布尔值的函数，
我们还可以将谓词看做值域为

在前一篇中，我们从三个初始函数出发，
通过合成运算和原始递归运算，得到了原始递归函数集，
递归函数集是相对于这两种运算封闭的。

然而，这样定义的原始递归函数，并不能包括所有的数论函数，
一个典型的例子就是，阿克曼函数，

ackermann :: Int -> Int -> Int
ackermann 0 x = x+1
ackermann k 0 = ackermann (k-1) 1
ackermann k x = ackermann (k-1) $ ackermann k x-1

它并不是一个原始递归函数，（证略
因此原始递归函数集并不足以表示计算机程序中的所有函数。

为此，我们需要对原始递归函数集进行扩充，我们定义一个新的运算，称为极小化运算，
设

以上我们给谓词定义了极小化运算，现在我们将极小化运算推广到一般的函数上面，
设

和定义原始递归函数集一样，我们从以下三个初始函数出发，
（1）零函数

递归函数并不一定是全函数，因为极小化运算可能会导致结果函数在某些点无定义，
递归的部分函数称为部分递归函数。

可以证明阿克曼函数是递归函数，但不是原始递归函数，
因此，原始递归函数集是递归函数集的真子集。

在具体实践中，我们经常会遇到这样的问题，
给定一个元素，我们需要判断这个元素是否属于某个集合。
这种问题，称为集合的成员资格问题。

沿用这一思路，我们可以使用一个谓词

如果特征函数

如果存在部分递归函数

因此，对于每一个自然数

因此，集合