HDU 1576 -- A/B (总结乘法逆元的几种求法)

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1576

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Problem Description

要求(A/B)%9973，但由于A很大，我们只给出n(n=A%9973)(我们给定的A必能被B整除，且gcd(B,9973) = 1)。

Input

数据的第一行是一个T，表示有T组数据。
每组数据有两个数n(0 <= n < 9973)和B(1 <= B <= 10^9)。

Output

对应每组数据输出(A/B)%9973。

Sample Input

1000 53

87 123456789

Sample Output

7922

6060

题意：给出A%9973和B的值，求(A/B)%9973。

解析：(A / B) % p = (A * inv(B) ) % p = (A % p * inv(B) % p) % p，其中p为模数9973, inv(B)为B关于模p的逆元。

同余式：

如果两个正整数a和b之差能被n整除，那么我们就说a和b对模n同余，记作：a≡b (mod n)。
a≡b(mod n)等价于a与b分别用n去除，余数相同。

乘法逆元：

如果ax≡1 (mod p),且gcd(a,p)=1（a与p互质，此为一个数有逆元的充要条件，此时逆元唯一存在），则称a关于模p的乘法逆元为x。

逆元的含义：模n意义下，1个数a如果有逆元x，那么除以a相当于乘以x。

求解逆元的方法：

1. 扩展欧几里得算法：

已知整数a、b，扩展欧几里得算法可以在求得a、b的最大公约数的同时，能找到整数x、y（其中一个很可能是负数），使它们满足贝祖等式ax + by = gcd(a, b)。

当a关于模b的逆元存在，有gcd(a, b) == 1，即扩展欧几里得算法可求得x, y满足ax + by = 1, 两边同时余b，

ax % b + by % b = 1 % b

ax % b = 1 % b

ax ≡ 1(mod b)

所以x是a的模b乘法逆元，同理y是b的模a乘法逆元。

算法时间复杂度：O(logn)

模板代码：

 1 int ex_gcd(int a, int b, int &x, int &y) {  // 函数返回gcd(a, b)
 2     if (b == 0) {
 3         x = 1, y = 0;
 4         return a;
 5     }
 6     int r = ex_gcd(b, a % b, y, x);
 7     y -= (a / b) * x;
 8     return r;
 9 }
10 
11 int main() {
12     int a, b, x, y;
13     cin >> a >> b;  // 求a关于模b的逆元
14     cout << (ex_gcd(a, b, x, y) == 1 ? (x % b + b) % b : -1) << endl;  // -1表示逆元不存在
15 
16     return 0;
17 }

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2. 费马小定理：

内容：假如a是一个整数，p是一个质数，那么a^p- a是p的倍数，可以表示为

a^p ≡ a (mod p)

如果a不是p的倍数(即gcd(a, p) == 1)，这个定理也可以写成

a^p-1≡ 1 (mod p)

变形得a * a^p-2≡ 1 (mod p)，所以a关于模p的逆元x = a^p-2(mod p)，用快速幂模可快速求之。

算法时间复杂度：O(logn)

模板代码：

 1 LL pow_mod(LL a, LL b, LL p) {    //a的b次方取模p 
 2     LL ret = 1;
 3     while (b) {
 4         if(b & 1) ret = (ret * a) % p;
 5         a = (a * a) % p;
 6         b >>= 1;
 7     }
 8     return ret;
 9 }
10 LL Fermat(LL a, LL p) {   //费马小定理求a关于b的逆元 
11         return pow_mod(a, p-2, p);
12 }

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